rOINTS ISOLÉS ET POINTS DOUBLES. 
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veront très exceptionnelles, puisqu'il faudra que Je système (4) de 
quatre équations à trois inconnues y soit compatible. C’est dire que la 
courbe gauche en sera dépourvue le plus souvent et formera bien une 
ligne continue, sans arrêt, ni coude brusque, ni bifurcation. 
Il est aisé de voir quels seront les points singuliers les moins rares, 
imaginons, à cet elTet, que, par l’ordonnées d’un point (x,y,z) véri 
fiant les équations (4), on mène une infinité de plans, distingués les 
uns des autres au moyen de leurs traces sur le plan des xy; et soient 
x —r 11/, / + Ki les coordonnées d’un point de l’une de ces traces, IIt, 
Kt désignant de petits accroissements variables reçus à partir de (x, y) 
par ces coordonnées, le long de la trace, qu’un mobile sera censé par 
courir uniformément depuis le temps t. Soit enfin, d’autre part, l la 
différence des ordonnées menées suivant les z aux deux surfaces F = o, 
<I>=:0 en partant du point Il t, y-y- Iv£) du plan des xy. Il est clair 
que cette différence de deux ordonnées fonctions généralement gra 
duelles des deux variables a; H- lli, y -+- Iv£, en sera une nouvelle fonc 
tion analogue II t, y -y Ki). D’ailleurs les deux surfaces possé- 
danten (#,/, même plan tangent, leurs deux coupes par chaque plan 
sécant mené suivant l’ordonnée z y ont la même tangente, intersection 
du plan tangent commun parle plan sécant; ce qui signifie que les 
ordonnées, fonctions de t, des deux coupes, ont même dérivée pour 
t — o, ou (pie la dérivée de leur différence l s'annule alors. Celte dif 
férence l, nulle elle-même à cet instant, s’y trouve donc minimum ou 
maximum suivant que sa dérivée seconde par rapporta t, savoir 
(5) 
TI2 r/2 ’^ Tri' clî 'if 
dx* * dxdy 1 V + dy* 
K 2 , 
y a le signe plus ou le signe moins; et, dans le premier cas, l est po 
sitif aux environs du point (x, y, z) sur Je plan sécant considéré, 
tandis qu’il y est négatif dans Je second. Or, d’ordinaire, l’expression 
(5) ne s’annule pas identiquement, mais prend, comme ou sait, ou le 
même signe pour toutes les valeurs possibles du rapport de K à II, ou 
signes différents dans les angles voisins formés par deux certains plans 
sécants sur lesquels l’expression (5) devient alors nulle. Il est clair 
que, dans le premier cas, l’écart / des deux surfaces ne se réduira 
nulle j i a r t à zéro autour du point (x, y, z); et celui-ci sera un point 
isolé. Au contraire, dans le second cas, l’écart l changera de signe près 
des deux plans où s’annulera l’expression (5); et une démonstration 
déjà donnée dans un cas analogue ( p. 15y*) prouve que deux branches de 
courbe se croiseront en (x, y, z) : ce point sera donc un point double. 
B. — I. Partie complémentaire.