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ANGLE DE DEUX DIRECTIONS VOISINES. 
11 sera sans inconvénient de désigner ainsi par les mêmes lettres A, B, C 
les cosinus directeurs de la binormale et les trois coefficients A, B, C 
ligurant dans l’équation (ii) [p. 286] du plan osculateur, qui leur 
sont simplement proportionnels; car ces coefficients n’ont été dé 
terminés jusqu’ici qu’à un facteur constant près, et rien n’empêche, 
tout en leur laissant leur signification antérieure, d’en fixer désormais 
la valeur d’une manière plus complète, en leur faisant représenter 
(quand les axes sont rectangles) les cosinus directeurs de la binormale. 
107*. _ Calcul de l’angle de deux droites voisines, définies par leurs 
cosinus directeurs. 
Il nous reste à voir si l’angle de contingence, évalué au moyen des 
tangentes MT, M'T' [p. 248], ou de leurs parallèles Ot, Ot 1 , aura 
bien la valeur (3o) [p. 249]. A cet effet, comme les droites O t, O t 1 
sont définies au moyen de leurs cosinus directeurs, nous aurons à 
résoudre le problème suivant : 
Étant donnés les cosinus directeurs, que j’appellerai respectivement 
a, c et a', b', c 1 , de deux droites O t, O t' très peu inclinées l’une 
sur l’autre, calculer le petit angle qu’elles forment. 
Donnons à chacune de ces droites issues de l’origine une longueur 
égale à j. Alors les trois coordonnées de t, projections de O t sur les 
axes, seront les produits respectifs de 1 par a, h, c et égaleront a, b, c. 
De même, les trois coordonnées de t' seront a', b 1 , c'; et la droite tt', 
ayant pour projections sur les axes les différences a'—a, b'—b, c'—c, 
vaudra \J{a' — a)‘ 2 -+- (b 1 — b) 2 -1- {c 1 — c)' 2 . 
Or, dans le triangle isoscèle tOt', la base tt' est le double du côté 
tp de l’angle droit d’un triangle rectangle dont l’hypoténuse Ot égale 1 
et dont l’angle opposé tOp vaut H vient donc 
, . /Ot' 
tt — ‘itp — 2 sm —— , 
et, par suite, vu la valeur précédente de tt', 
( 31) 2 sin —= y/( a' — a)' i -r- (6' — b J 2 -t- (c' — c)' 2 . 
Celte formule (31 ) est bien d’accord avec l’expression connue, 
aa' -+- bb'ce', de costOt' (peu avantageuse par elle-même dans le 
cas d’angles infiniment petits, comme toute formule contenant des 
cosinus). Car la quantité sous le radical, développée, donne les deux 
sommes a 2 + c 2 , a' 2 -\- b' s -\- c'-, dont chacune vaut 1, plus l’ex-