2|/,* COURBES GAUCHES : DÉRIVÉE DES COS. DIRECT. 
et une courbe plane, ou de ce qu’on pourrait appeler le gauchissement 
de l’arc MM'. Il a reçu, pour une raison qu’on verra bientôt, le nom 
à'angle de torsion. Nous le représenterons par d~. 
Évaluons-le au moyen de la formule (32), dans laquelle il faudra 
remplacer, d’une part, tOt' par pOp'— di, d’autre part, a, 5, c par 
les cosinus directeurs A, B, G de la binormale MP, et, de même, a', 
¿/, c' par ceux de la binormale M'P', qui sont A, B, C accrus de leurs 
28. 
différentielles A'ds, B'ds, G'ds le long de l'arc MM' ou ds. Il viendra 
(G'rfïj* = /A 
(34) di — y/( A'e/s) 2_1_ (B'ufo j 2 -+- (G’dsj 2 = y/A' 2 — B' 2 -r- G' 2 ds. 
Reste à évaluer les trois dérivées A', B', G'. On y arriverait en dif- 
férentiant les expressions (28) de A, B, G. Mais il est plus simple de 
différentiel' les trois relations qui ont servi à trouver ces expressions 
(28), savoir 
(35) A 2 +B î + C 2 = 1, A^+BjGC^ = o, A/vB/-rC/=o. 
La première (divisée par 2) et la deuxième donnent de la sorte 
AA'-f- BB'-f- CG' = o, ic'A'+ < y'B'-+- AC'-f- A/ + Bjk"-t- GA' = 0. 
Or celles-ci déterminent simplement les rapports mutuels de A', B', C, 
après qu’on a supprimé de la seconde la partie A.x"-\- B/"-P Cz", 
nulle en vertu de la troisième (35); et elles sont d’ailleurs satisfaites 
par la substitution à A', B', G' de x", y", z", qui les change respecti 
vement en la troisième (35) et en la seconde relation (9) [p. 235] 
toujours vérifiée quand les axes sont rectangulaires et l’arc s pris pour 
variable. Donc, en somme, la différentiation des deux premières rela 
tions (35) conduit à poser la double proportion 
G' 
AV+BV+C'/ 
**+?"*■ 
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(36)