COMPLÉMENT A LA DIX-HUITIÈME LEÇON. 
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COMPLÉMENT A LA DIX-HUITIÈME LEÇON. 
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POINTS SINGULIERS DES SURFACES; DÉVELOPPABLE CIRCONSCRITE A 
DEUX SURFACES; DÉTERMINATION D’UNE SURFACE PAU L’ENSEMBLE 
DE SES PLANS TANGENTS; LIGNES DE PENTE; ETC. 
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171*. — Coup d’œil sur les points singuliers des surfaces courbes : 
points isolés et points coniques. 
Mais, revenant aux surfaces définies par une équation de la forme 
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F(#, y, z) — c, jetons un coup d’œil sur le cas exceptionnel où les 
trois dérivées de F en x, y, z s’annuleraient au point considéré 
{x, y, z), afin de voir quelles sortes de singularités on y observera le 
plus ordinairement. Il nous suffira de procéder comme nous avons 
lait (p. 106*) dans l’étude des points singuliers d’une famille de 
courbes planes. Nous supposerons que, parcourant un chemin variable 
l le long de droites menées par le point considéré (x, r, z), on 
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se trouve successivement en des points qui aient les coordonnées 
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x^ — x + W l, y x —y -h K/, z l =. z -+- L /, où H, K, L désignent trois 
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coefficients dont les rapports mutuels caractérisent la direction de la 
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droite. Les deux dérivées première et seconde, par rapport à l, de la 
fonction de point F seront évidemment, en (x, y, z), l’une, égale à 
zéro par suite de l’annulation supposée des trois dérivées premières 
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de F en x, y, z, et l’autre, exprimée par 
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1 dxi 11 + ~d^ K • <£.« 
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lit, le rapport t P* 1, 
1 d î F d 1 F d- F 
1 -+- ‘2 7- KL -h '2 , , LU + 2 , . 11K. 
dy dz dz dx dx dy 
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Ce sextinôme, homogène du second degré en II, K, L, n’est pas, en 
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général, identiquement nul; et il arrive d’ordinaire, ou qu’il garde 
constamment le même signe sans s’annuler, ou qu’il change de signe 
et, par conséquent, s’annule pour une infinité de directions, définies 
par les rapports correspondants de 11, K, L. Comme la fonction F se 
trouve évidemment minima, au point (x, y, z), le long de toute droite 
pour laquelle l’expression (8) y est positive, et maxima quand elle