DES POINTS SINGULIERS D’UNE FAMILLE DE SURFACES : 
j est négative, on voit que, si cette expression (8) a le même signe 
pour toutes les directions, la fonction F sera un minimum absolu on 
un maximum absolu en {x, y, z) et ne retrouvera pas, dans tout le 
A'oisinage, sa valeur c relative à ce point. Celui-ci constituera donc un 
point isolé. 
Si, au contraire, l’expression (8) est positive pour certaines des 
droites qui s’y croisent, négative pour d’autres, la fonction F sera plus 
grande qu’en {oc, y, z) aux endroits voisins appartenant aux premières 
de ces droites, mais moindre qu’en {oc, y, z) à ceux qui se trouveront 
sur les secondes; et elle passera ainsi par sa valeur relative à {oc,y, z) 
en des points situés, par rapport à {oc, y, z)', dans des directions infi 
niment voisines de celles pour lesquelles s’annulera l’expression (8). 
Or, celle-ci, égalée à zéro, donne une équation à deux inconnues 
distinctes seulement, savoir, les rapports de H et Iv à L. L’un de ces 
rapports y sera donc arbitraire (au moins entre certaines limites), et 
il résultera de l’équation une valeur de l'autre en fonction continû 
ment variable du premier. 
C’est dire que les droites, émanées de {oc, y, z), suivant lesquelles 
l’expression (8) s’annulera, se juxtaposeront de manière à former un 
espace sans épaisseur, savoir, une surface conique, ou, comme on dit, 
un cône, ayant à la fois pour centre et pour sommet le point {oc, y, z). 
Les points de la surface F {oc, y, z) — c voisins de {oc, y, z) seront 
donc, vus de ce sommet, dans des directions infiniment peu différentes 
de celles des génératrices du cône; et, le long de toute droite très 
courte perçant ce dernier près du sommet {oc,y, z) suivant une direc 
tion qui ne soit celle d’aucune génératrice, droite dont j’appellerai x { , 
y 1} z Y les coordonnées courantes, la fonction F{ocy, y t , z x ) passera un 
nombre impair de fois par sa valeur c relative au point {oc,y, z), puis 
qu’elle devra y devenir, de plus petite, définitivement plus grande, on 
vice versa. Or elle ne pourra y acquérir plus d’une fois la valeur c; 
car, si elle y passait trois fois par cette valeur, sa dérivée seconde 
le long du chemin suivi devrait s’y annuler d’après le théorème de 
Rolle, ce qu’elle ne fait pas, ayant sensiblement le long de ce chemin, 
en vertu de la continuité, sa valeur (8), différente de zéro, relative à 
un chemin parallèle mené pa r (&> 7> *)• 
Donc la surface aura, de chaque côté du sommet {x, y, z), une 
nappe unique continue, aboutissant à ce sommet tangentiellement an 
cône indiqué. C’est dire qu’un pareil point {x, y, z) établit la jonc 
tion de deux nappes, qui s’y opposent mutuellement leurs tangentes 
émanées de ce point. Le lieu de celles-ci, obtenu par l’annulation de 
l’expression (8), dans laquelle, à H, K, L, on pourra substituer II/,