DIX-NEUVIÈME LEÇON.
O
*****
J* 1
COURBURE DES SURFACES.
1 b 8 -
-186*. — Des formes qu’affecte, en général, une surface, aux environs
d’un de ses points : paraboloïde de contact.
uluJeîil® 0 ? 1
Lapin te J
Toute surface dont la normale change graduellement de direction
quand son pied s’y déplace dans le voisinage d’un point donné {x,y, z),
présente autour de ce point certaines circonstances de forme, dépen
dant de la rapidité avec laquelle, à partir du même point, la normale
commence à tourner suivant les divers sens. Ces circonstances de
forme, ainsi fonction des cosinus directeurs de la normale en {x, y, z)
et de leurs dérivées premières en x et y ou, par suite, des dérivées
tant premières que secondes
■ L. j j..,
dz dz d 1 z d î z d 2 z
P ~~ dx ’ ^ dy’ ' dx 2 ’ S dx dy ’ t dy 2
*<* prwi*«
de l’ordonnée z — y) de la surface, constituent la courbure de
celle-ci pour le point considéré. Elles expriment à fort peu près, sauf
dans le cas où elles s'évanouissent par le fait de V annulation de r,s, t,
les petits écarts de la surface d’avec son plan tangent aux environs du
point de contact donné (x, y, z), et, par conséquent, différencient
entre elles, quant à la forme, les diverses surfaces ou les diverses
parties d’une même surface.
Les quantitésp, q, r, s, t s’évaluant, quand la surface est définie
par une équation implicite comme F(^r, y, z) = c, au moyen des dé
rivées partielles des deux premiers ordres de F, on voit que les cir
constances dont il s’agit, caractéristiques des diverses formes de sur
face, dépendront de ces deux ordres de dérivées, comme nous avons
vu déjà (p. 220*) qu’il arrivait aux points singuliers, où s’annulent
les dérivées premières de F.
Imaginons, afin de simplifier autant que possible la question, qu’on
transporte l’origine au point donné (x, y, z), en prenant pour axes
des x et des y deux tangentes rectangulaires delà surface et pour axe
des z la normale, dirigée de telle manière que la coupe de la surface