2'jô* COURBURE DES SURFACES : PLANS NORMAUX PRINCIPAUX 
auront donc, au point considéré, un contact du second ordre et, par 
conséquent, même cercle oscillateur. Autrement dit, le paraboloïde 
peut être substitué à la surface, clans l’étude de la courbure offerte 
en leur point de contact par les lignes de la surface qui s’y croisent 
et qui ont sur le plan tangent correspondant une projection donnée 
quelconque. 
187*. — Des deux plans normaux principaux d’une surface, et de ses 
deux sections principales, en un quelconque de ses points. 
On sait qu’il est toujours possible de choisir, dans le plan des xy 
et à partir de la même origine, deux nouveaux axes rectangulaires 
des x et des y par rapport auxquels l’expression homogène et du se 
cond degré rx 1 H- 2sxy 4- ty-, tout en conservant en chaque point du 
plan sa valeur primitive, se trouve débarrassée du rectangle xy des 
variables; c’est le système formé parles axes mêmes des ellipses 
ou des hyperboles ayant l’équation rx' 2 -\- 2sxy H- ty 2 — const. Or 
supposons qu’on eût adopté dès l’abord ces axes, qui, faisant dispa 
raître le terme 2sxy, rendent évidemment nulle, au point pris pour 
origine, la dérivée seconde oblique s de l’ordonnée. L’équation (1) du 
paraboloïde de contact deviendra, en la multipliant par 2, 
(2) iz = rx 1 H- ty 2 , 
et celle de la surface n’en différera que par l’addition, au second 
membre, du terme 2FU, d’un ordre de petitesse en x et y supérieur au 
second. Comme les coordonnées x et y ne paraissent dans (2) que 
par leurs carrés, à chaque point (x, y, z) du paraboloïde il en corres 
pond un second (x, —y, z), symétrique par rapport au plan des zx, 
et un troisième (— x, y, z), symétrique par rapport au plan des zy. 
Ainsi, le plan des zx et celui des zy sont des plans de symétrie du 
paraboloïde et le sont par suite, sensiblement, delà surface proposée, 
pour le voisinage de l’origine choisie, en ce sens que (sauf le cas 
où r, s, t s’annuleraient à la fois) la surface s’y trouve infiniment moins 
dissymétrique par rapport à ces plans que par rapport à d’autres plans 
normaux quelconques ou menés suivant l’axe des z. Effectivement, 
elle l’est par rapport à ces derniers dès que l’on ne néglige pas tout à 
fait la courbure ou que l’on ne réduit pas la surface à son plan tangent. 
Il existe donc, en tout point ordinaire d’une surf ace, deux certains 
plans, normaux à la surface et rectangulaires entre eux, de part 
et d’autre desquels elle peut être censée symétrique dans une éten 
due infiniment petite tout autour. Ces deux plans sont dits les plans