248* PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DES SECTIONS PRINCIPALES. 
perpendiculaire allant du centre de celle-ci, situé sur Os, à la nor 
male émanée de {x, y, z). Or on sait que, dans l’ellipse ou hyper 
bole rx^-\- ty~ = const., la normale menée en (x, y, z) passe à une 
distance du centre comparable au demi-diamètre x % H- y- aboutis 
sant à son pied, à moins que celui-ci ne soit dans la direction d’un 
axe. C’est donc seulement, comme il fallait le démontrer, le long des 
sections principales, que deux normales au paraboloïde se coupent; 
et ces sections ne sont, comme les axes de la courbe rx 1 -h ty 2 = const., 
qu’au nombre de deux, abstraction faite du cas particulier où la 
courbe ty° i = const. serait un cercle. 
D’ailleurs, quand on passe du paraboloïde à la surface proposée, les 
cosinus directeurs de la normale et leurs dérivées premières en x et y 
restent les mêmes à l’origine O; ce qui implique la conservation de 
l’orientation de cette normale, jiour de mêmes petites valeurs quel 
conques de x et de y, à des changements près d’un ordre de petitesse 
supérieur au premier. Par conséquent, dans la surface, les normales 
menées en A et B feront, avec leurs projections respectives AG, BG' 
sur les deux plans zOx, zOy, des angles infiniment plus petits que 
OGA, O G'B, et elles pourront n’être pas distinguées de AC, BG', 
alors que, si le plan .sOA, par exemple, était un plan normal quel 
conque, l’angle de la normale menée en A à la surface avec sa pro 
jection AG sur ce plan serait comparable à OGA ou, numériquement, 
à OA, et cette normale passerait, par suite, à une distance du point 
G, ou de Os, du même ordre, et non plus infiniment moindre, 
que OA. 
Ce dernier fait s’exprimera donc en disant que, si, à partir du 
point O, Von décrit sur la surface un chemin infiniment petit dans 
toute autre direction que les deux principales OA, OB ou leurs op 
posées, la normale menée à la surface, à la seconde extrémité de 
ce chemin, n’ira pas rencontrer la normale menée à la première 
extrémité, mais en passera à une distance du même ordre que 
l’écart de leurs pieds respectifs, ou que le chemin parcouru. 
Il n’j aurait exception à cette loi que si, comme il a été dit tout 
à l’heure, les courbes r.r 2 -h const. avaient plus de deux axes 
principaux, c’est-à-dire se réduisaient à des cercles. Ce cas se produit 
quand les deux sections principales OA, OB sont égales dans le para 
boloïde, ou, vu les équations (i) et (2), quand on a tout à la fois 5 = 0 
et r = t au point considéré. Alors le double de l’ordonnée z, exprimé 
sensiblement par r(x 2 -\-y~), ne varie presque qu’avec la distance 
\x--\-y 2 de chaque point à l’axe des z, le paraboloïde est de révolu 
tion autour de cet axe, et toutes les sections normales, au point O,