oÓO* COURBURES PRINC., C. MOYENNE ET C. PERMAN., EN UN POINT D’UNE SURF. 
Jieu pour R' dans la fig. 33 (p. 249*), où le second centre principal 
de courbure, C', se trouve, non plus du même côté de la normale 
que le premier centre G, mais du côté opposé. 
D’après cela, un rayon principal de courbure est positif, quand la 
section correspondante, OA par exemple, tourne sa concavité du côté 
des z positifs; et il est négatif quand la section correspondante 
tourne, au contraire, sa concavité vers les z négatifs, comme il arrive 
pour OB'. 
On étendra naturellement la même convention ¿1 toutes les sections 
normales, ou coupes de la surface par les divers plans menés suivant 
O z, parfois aussi à toutes les courbes de la surface se croisant en un 
point considéré et dont les rayons de courbure respectifs, dirigés de 
ce point vers les centres correspondants, feront avec l’axe des z des 
angles aigus ou obtus quelconques : le signe positif ou négatif des 
cosinus de ces angles sera celui des rayons de courbure et de leurs 
inverses ou courbures. 
Enfin ces inverses, p » pour les deux rayons principaux, pris 
avec leurs signes, sont appelés les deux courbures principales de la 
surface au point considéré. Leur moyenne arithmétique, - 
égale, d’après le théorème d’Euler (p. 78*), la demi-somme des 
courbures de deux sections normales rectangulaires quelconques faites 
au même point O, et représente, par suite, la moyenne générale des 
courbures de toutes les sections pareilles : elle est donc, comme on a 
vu (p. 76*), la courbure moyenne de la surface au point O. Quant 
à leur moyenne géométrique -—=.■> son carré p-jy; a été appelé simple 
ment, par Gauss, la courbure de la surface au point considéré. La 
première de ces deux quantités, - -+• a une très grande im 
portance dans la théorie physique des phénomènes de capillarité pro 
duits à la surface d’un liquide; car la différence des deux pressions 
existant de part et d’autre de cette surface lui est proportionnelle. La 
deuxième, p-p,, joue, de son côté, le rôle principal dans la théorie 
des membranes infiniment minces que l’on déforme par simple flexion, 
c’est-à-dire en les pliant et dépliant sans allonger ni raccourcir au 
cune de leurs fibres ou aucune ligne matérielle tracée sur leurs 
faces; car nous verrons dans la prochaine Leçon, et Gauss a, le pre 
mier, démontré que cette quantité -p^p conserve, en chaque point dé