25l 
FORME D’UNE SURFACE AUTOUR d’un POINT DONNÉ. 
terminé de In membrane, sa valeur primitive, quels que soient les 
changements de forme produits. C’est pourquoi on pourrait la dési 
gner par les termes de courbure essentielle ou de courbure perma 
nente de la surface, plus justement peut-être que par le simple mot 
de courbure; car elle s'annule dans toutes les surfaces développables, 
ou susceptibles d’être étalées sur un plan (p. 224*), auxquelles il est 
cependant difficile de ne pas attribuer quelque courbure lorsqu’elles 
sont effectivement courbes. 
190*. — Détermination de la forme d’une surface aux environs d’un 
point, en fonction des deux rayons principaux de courbure relatifs à 
ce point. 
Les deux coefficients /•, t, qui paraissent dans l’équation (2) [p. 246* | 
duparaboloïde de contact, s’expriment aisément en fonction de R et de 
R'. Observons, en effet, que R désigne le rayon de courbure, au point O, 
de la coupe de la surface par le plan des zx, courbe plane dont l’ab 
scisse est x et dont l’ordonnée perpendiculaire z a ses deux dérivées^' 
et s" égales respectivement, en O, à p et r. La première de ces déri 
vées y étant même nulle, la formule usuelle (3) [p. 196] du rayon de 
courbure d’une courbe plane donne donc simplement, en y remplaçant 
y 1 et y" par zéro et par /•, R = ce qui revient à prendre r — ; • On 
aurait de même, en considérant la coupe de la surface par le plan des 
zy, t — et l’équation (2) du paraboloïde de contact, qui définit 
la forme approchée de la surface aux environs du point considéré O, 
s’écrira 
(3) 
fl 
R' * 
On voit qu elle ne dépend que de R et R'. Ainsi, d’une part, la forme 
approchée de la surface, aux environs d’un quelconque de ses 
points, est complètement déterminée par les rayons de courbure R, 
R', en ce point, de ses deux sections principales correspondantes, 
rayons pris en grandeur et en signe; d'autre part, la manière dont 
cette forme est disposée ou orientée, par rapport au plan tangent 
mené ci la surface au même point, dépend de la direction des deux 
sections principales qui ont ces rayons de courbure, c est-à-dire de 
la position des deux plans normaux principaux, 
11 nous suffira donc de savoir déterminer, en tous les points d une 
surface donnée z — f^x^y), les deux directions principales et les