CALCUL DES DIRECTIONS ET COURBURES PRINCIPALES. 
mière différentiation de z— J\x, v) = o par rapport à l’arc, 
z'—px' — qy' — o; et une seconde différentiation donne ensuite 
\ z"-px"— qy" = p’x'-H q'y 
î =(rx'-h sy')x'-h(sx'-h ty')y' = rx'*-+- ‘isx'y'-h tf*. 
La formule (i5) devient donc celle qu’il s’agissait d'obtenir : 
, C s II rx' 2 -+- 2Sx'y'-+- ty' 2 
UO) — = 77 J J . 
pl COS Y s / l _ hp ^ q2 
Il suffît, pour en déduire la précédente (io), dont nous nous sommes 
servi, d’adopter les deux tangentes principales au point considéré 
pour axes des x et des y, ce qui permet de poser, tout à la fois, 
P = o, 
s = o, 
i i 
r= R’ i= Fv 
x = cos sc, y' — sin a. 
191*. — Calcul des directions et courbures principales, de la courbure 
moyenne et de la courbure permanente, pour les divers points d’une 
surface. 
"Voyons enfin comment, pour un point quelconque (x, y, z) de la 
surface proposée qu’exprime en coordonnées rectangles l’équation 
z=f{x,y), on déterminera les deux directions principales, les 
rayons correspondants principaux R, R/ de courbure, et les deux di 
rections asymptotiques. 
Lne direction quelconque sur la surface sera définie par le coeffi 
cient angulaire y' de sa ¡projection sur le plan des xy, plan où les x, 
par exemple, seront ¡pris comme abscisses et les y comme ordonnées. 
Si donc on appelle dx, dy, dz les trois projections, suivant les axes, 
d’un chemin infiniment petit ou élément rectiligne décrit sur la sur 
face à partir de (x, y, z), son orientation sera fixée au moyen du 
rapport y' de dy à dx, et l’on aura d’abord dy — y'dx, puis 
dz = pdx H- qdy =z {p -y- qy') dx, vu que z — f{x, y) ; et, de même, 
les variations dp, dq des dérivées premières p, q, le long de l’élément 
rectiligne, seront 
dp = r dx s dy — ( r —H s y' ) dx, dq = s dx -H t dy — (s ty') dx. 
L’élément rectiligne dont il s’agit se trouvera situé suivant une di 
rection principale, à la condition nécessaire et suffisante (p. 247*) 
que les deux normales, à la surface, menées à ses deux extrémités 
[x, y, z) et {x-ydx, y + dy, z + dz), se rencontrent, du moins 
à des infiniment petits du deuxième ordre près, c’est-à-dire à la con 
dition de modifier convenablement, de quantités de cet ordre au plus, 
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