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ET COURBURE PERMANENTE, AUX DIVERS POINTS D’UNE SURFACE.
normale à la surface, <à partir de (a?, y, z), du côté qui fait avec une
parallèle à la partie positive de l’axe des s un angle aigu, ou suivant
qu'il l’est du côté opposé.
Nous aurons d’abord l’équation propre à donner y', en éliminant
5, — s entre les deux relations (19); ce qui se fera, par exemple, en
égalant les deux valeurs qu’on en tire pour z-i— z. Il vient ainsi, après
l’évanouissement des dénominateurs et la réduction des termes sem
blables,
l [(i + q*)s—pqt]y*
I [(1 + — (1[pqr — (1 +J0 2 ) s] = O.
Cette équation est du second degré, comme on pouvait le prévoir,
puisqu’on savait qu’elle devait donner deux directions principales
distinctes ou avoir deux racines. La perpendicularité de ces directions
se reconnaît aisément quand le plan des xy adopté est parallèle au
plan tangent en {x, y, z) et que, par suite, la projection sur le plan
des xy ne détruit pas la perpendicularité des deux droites ayant
les coefficients angulaires y'. Alors, en effet, on a p — o, q = o, et le
rapport des deux coefficients extrêmes dans (21), produit de ces deux
racines ou coefficients angulaires, vaut—1; de sorte que les deux
valeurs de y' sont bien les tangentes d’angles complémentaires et ad
jacents, ou situés, par rapport à une parallèle aux x positifs émanée
de leur sommet, l’un d’un côté et l’autre de l’autre.
Quand l’équation (21) aura fait connaître la valeur de y' définissant
une direction principale, l’une des relations (19) donnera z x — z et
alors la valeur R du rayon principal correspondant de courbure ré
sultera de (20). Mais on peut aussi former directement l’équation qui
a pour racines les deux valeurs de R, en éliminant y', entre les deux
relations (19), de la même manière qu’on en a éliminé z L — ^; et il
vient
(M ) I («-»•K*.—•)•
i — [(1 -H <7 2 )c — ipqs + (1 — + g 2 ) — °-
Remplaçons, dans celle-ci, u, — z par sa valeur tirée de (20), et di
visons par (1 -h/) 2 -h î/ 2 )R 2 , afin d’obtenir une équation dont les ra
cines soient les courbures principales ou les inverses des rayons R.
Nous aurons, en changeant l’ordre des termes,
/„m 1 (l + 5f2)r — 2/?<7J + (l+p 2 )Î r rt — s* _ n
(23) rî —; TT r (■+/>■+ r-r-
Le coefficient, changé de signe, du second terme de celle-ci, est la
