FORMULE DE MOIVRE.
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entre quantités.
Tous ces développements, utiles pour bien faire comprendre com
ment le symbole imaginaire \J — i permet d’indiquer simplement cer
taines relations assez compliquées entre quantités réelles, conduisent
donc à la formule générale, qu’ils expliquent suffisamment,
cos (u — i sin ( u -+- v -+- w -+-. ..)
= (cos U -1- /— I sin u) (cos V -+- \J I sin v) (cos W -H f — i sin w)
Celle-ci, quand les arcs u, c, w, . . ., supposés au nombre de m, y
deviennent égaux, se réduit à la suivante, dite formule de Moivre,
(21) cos mu 4- f — x sin mu — (cos u -+- f — 1 sin u) m ,
qui contient, comme on voit, les expressions du cosinus et du sinus
d’un multiple quelconque mu d’un arc u en fonction algébrique et
entière du cosinus et du sinus de cet arc. Or, dans le second membre
de (21), l’effectuation des calculs (y compris la réduction des termes
semblables) se fera évidemment par le même mécanisme qui a conduit
à la formule de la m lème puissance du binôme, et elle donnera
/—- , • m(m — t) / , \o
y — 1 cos™ -1 u sm u -+- {y — x) cos™ -2 u si
Enfin la substitution de — 1 à chaque couple de facteurs symbo
liques f— x et le groxxpement, d’une part, des termes de degré pair
en y/— 1, pour en faire l’expression de cos mu, d’autre part, des termes
de degré impair en \J— 1, pour en faire, après la suppression du facteur
subsistant y— x, l’expression de sinmxx, dédoubleront bien cette for
mule symbolique (21) en deux, parfaitement concrètes, qui sont les
formules cherchées de cos mu et de sinwixx :
?n{m — il
cos mu = cos™ u — -— — cos™ -2 u sm 2 u
(22)
m{m~ i)(m — 2){m —-3)
x.2.3.4
cos™ -4 u sm* u — . . .,
m . . m(m — 1 ) ( m — 2 )
sm mu — — cos™ -1 u sm u — — cos™ -3 u sm 3 u
x 1.2.3
m( m — 1) ( m — i){m — 3 ) ( m — 4)
x.2.3.4.5
cos™ -3 u sm° u —
Les seconds membres se terminent, comme dans la formule du bi
nôme, par le terme après lequel la loi évidente de formation des coef-