RAPPORTS AVEC LES LIGNES DES DÉCLIVITÉS MAXIMA OU MINIMA. 2 63*
qui y figurent, suivi de la multiplication des résultats par la puissance
| de i+/? 2 + q 2 .
Les deux égalités (20) constituent des conditions non seulement
nécessaires, mais, de plus, suffisantes, pour qu’un point de la surface
soit un ombilic; car, dés qu’elles sont vérifiées, les équations (ig) se
troment, quel que soit y , eflectivement compatibles, et donnent à
z { —z une valeur constante, inverse des trois rapports égaux (25).
Toutes les sections normales menées en {x, y, z) ont donc leurs
cercles osculateurs égaux, formant ensemble une sphère osculatrice
à la surface; ce qui indique bien que cette dernière est sensiblement
de révolution dans le voisinage du point considéré (x, y, z).
Les ombilics font partie des lignes des déclivités maxima ou mi-
nima; car, les normales a la surface dans une étendue infiniment pe
tite tout autour aboutissant au centre de la sphère osculatrice (à des
écarts près du second ordre de petitesse), Je plan vertical de l’une
d'elles, menée à partir de l’ombilic, peut être censé en contenir une
seconde, issue de l’extrémité de l’élément de ligne de pente émané
aussi de l’ombilic; ce que nous savons (p. 288*) caractériser parfaite
ment les Lignes des déclivités maxima ou minima. Aussi la double
proportion (20) entraîne-t-elle la vérification de l’équation (87)
[p. 289*] des lignes dont il s’agit, et qui consiste dans l’égalité du
second rapport (25) à celui qu’on forme en retranchant respective
ment des termes du premier ceux du troisième. Il suit de là, et de la
propriété de maximum ou minimum qui nous a servi à définir ces
lignes (p. 287*), que la déclivité langy de la surface a sa différen
tielle, le long d’une ligne de niveau z — const., nulle à partir de tout
ombilic; ce qui revient à y écrire dy — o ou encore dcosy o, quand
; ne varie pas. Et comme la direction de la verticale pourrait être
aussi bien prise pour celle ou des ¿r, ou des y, que pour celle des ~
on aura plus généralement, à tout ombilic, en appelant cosa, cosp,
cosy les cosinus directeurs de la normale, les trois égalités
(26 bis) d( cosa, cos ¡3, cosy) = o (pour x, ou /, ou z constant),
dont les deux premières sont évidemment identiques à (26) ou, par
suite, équivalentes à (2 5).
Les deux équations (25) ne contiennent que deux inconnues dis
tinctes, savoir, les coordonnées indépendantes ¿c, y, dont les dérivées
p, q, /■, s, t de z —f(x, y) sont des fonctions données : il arrivera donc
fréquemment qu’elles admettront un certain nombre de solutions ; et
alors la surface possédera tout autant d’ombilics. Quelquefois, la
forme de la fonction f{&, y) sera telle, qu il suffira de vérifier une des