264* ombilics; propriété de la sphère. 
deux équations (a5) pour que l’autre soit satisfaite d’elle-môme; et, 
alors, une seule relation entre x et y exprimera l’existence d’un om 
bilic. Il y aura donc sur la surface toute une ligne d’ombilics : on 
l’appelle ligne ombilicale ou encore ligne des courbures sphériques 
de la surface, pour rappeler que celle-ci y comporte en tous les 
points une sphère osculatrice. 
Enfin la sphère est la seule surface dont l’ordonnée z vérifie idenli 
quement les deux équations (25) ou dont tous les points soient des 
ombilics, comme Monge l’a reconnu le premier. On le voit de suite 
en observant que les trois relations (26 bis), alors satisfaites sur 
toute l’étendue de la surface, astreignent cosa, cosp, cosy à être trois 
certaines fonctions de la seule coordonnée correspondante x, ou y, 
ou z. Si l’on appelle X, Y, Z ces trois fonctions, la relation concer 
nant la somme des carrés des trois cosinus donnera, comme équation 
de la surface, X 2 +Y 2 -f- Z 2 —ï. Or on sait (p. 5q*) que les dérivées 
en x, y, z du premier membre de celle-ci, savoir 2XX', 2YY', iTJL, 
sont proportionnelles aux cosinus directeurs, X, Y, Z, de la normale; 
ce qui donne X , = Y'=Z'. Et comme X' ne peut pas plus dépendre 
de y et z, que Y' de z et x, ou que Z' de x et y, leur valeur commune 
sera une même constante, p; d’où, en désignant par A, B, G d’autres 
constantes, X= —p—5 Y == ———, Z — - p G Enfin, l’équation 
X*H-Y*-h Z- = i deviendra bien celle d’une sphère, 
{x — A)5-t-(j— B)2+(^_C) 2 = R2. 
Un exemple simple de l’emploi des relations (25) consiste à cher 
cher les ombilics d’un ellipsoïde dont les trois demi-axes a, b, c, ran 
gés par ordre de grandeur décroissante, sont pris pour axes respectifs 
des coordonnées x, y, z. Mais il est encore plus simple d’v observer 
que toutes les sections de cette surface du second degré, grandes ou pe 
tites, parallèles à un même plan tangent, sont des coniques semblables ; 
en sorte que, dans le cas d’un plan tangent mené à un ombilic, elles se 
réduisent à des cercles, comme l’indicatrice correspondante image des 
sections infiniment petites. Ces sections constituent donc un des deux 
systèmes des plans cycliques de l’ellipsoïde. Ainsi, la surface admet 
quatre ombilics, situés aux extrémités des deux diamètres conju 
gués aux plans cycliques, diamètres ayant, comme on sait, leurs 
quatre angles bissectés par les deux axes extrêmes 2a, 2c de l’el 
lipsoïde.