CALCUL DES DIRECTIONS ASYMPTOTIQUES. 
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19b*. Calcul des directions asyniptotiques pour les divers points 
d’une surface. 
Cherchons enfin, pour chaque point {x, y, z) de la surface que 
définit, en coordonnées rectilignes quelconques, une équation de 
la forme z —f(x, y), les directions cisymptotiques, suivant les 
quelles la surface est coupée par son plan tangent. Appelons x u 
y u -i les coordonnées d'un point de la surface voisin de (x, y, z), 
et nous aurons, par la formule de Taylor appliquée à la fonction 
*i=/(-*à> Ji) =/l> + (*! — *), 7+ {fi —f)], 
zi—z=p{xi — x) -+- q{y l — y) 
■+-S [ r i X l— Vf+ÏSÎXi — x){y l -y)^-t{y l — 7 )2] + .... 
Ce point devant, ici, vérifier en outre l’équation du plan tangent 
(28j -i — Æ = p(x l ~ x) y), 
la différence des deux relations (27), (28) donnera, en x y et y lf l’équa 
tion de la projection, sur les xy, de l’intersection de la surface et 
du plan : 
(29) \[r(x 1 — 07)2+ 2i(07 1 — &){fl — y) + i(7i— y)-] + • . • = 0. 
Admettons actuellement que le point {x it y x , Zy) soit infiniment 
proche de (x, y, .s), ou réduisons l’arc de courbe qui joint ces deux 
points à un simple élément rectiligne, dont les projections (rectan 
gulaires ou obliques) sur les axes, x t — x, y x — y, z t — s, seront de 
simples différentielles dx, dv, dz des coordonnées le long de cet arc. 
La relation (29) divisée par idx % deviendra, en appelant encore y' 
le rapport de dy à dx qui définit la direction suivie, et en supprimant 
les termes qui s’évanouissent, 
(30) r -+- 2Sy’-+- ty' 2 = o. 
Telle est l’équation du second degré dont les deux racines sont les 
coefficients angulaires des deux directions asymptotiques, pour le point 
{x, y, z), projetées sur le plan des xy. Ces racines ne sont réelles 
qu’autant que l’on as 2 —rt > o, comme on pouvait le prévoir, du 
moins dans le cas d’axes rectangles, en observant que l’expression 
(24) [p. 262*] du produit des deux courbures principales est, alors 
et seulement alors, négative, comme il le faut pour que la surface ait 
ses deux courbures de sens opposés et coupe son plan tangent.