LIGNES DE COURBURE D’UNE SURFACE. 
267* 
la précédente; et tous les éléments rectilignes (du premier ordre de 
petitesse) joignant un point quelconque de celle-ci aux points de 
l’autre voisins, ou appartenant à la surface lieu de la série considérée 
de normales, Ici ont pai suite des angles infiniment petits avec ce 
même plan, dés lors aussi peu différent que l’on voudra, pour la 
direction, du plan tangent à la surface en un point quelconque de la 
génératrice rectiligne suivant laquelle on l’aura mené. Donc le plan 
qui passe par une quelconque des normales données et par le pied 
d’une autre voisine devient, à la limite, tangent tout le long de la 
première de ces droites à la normalie (ou lieu d’une suite de nor 
males) dont il s agit; et comme, en menant à côté un second plan, 
tangent aussi tout le long de la génératrice contiguë, puis à la suite 
un troisième, etc., chacun de ces plans sera (p. 228*) coupé par le 
suivant infiniment près de ses points de contact avec la normalie même, 
celle-ci ne différera pasde ce qu’est, à la limite, le lieu des intersections 
successives des plans ainsi obtenus, ou se composera de bandes planes 
infiniment longues et étroites juxtaposées, pouvant évidemment s’éta 
ler sans déchirure sur un seul plan par des rotations opérées autour 
de leurs droites de jonction. Elle sera donc bien une surface dévelop- 
pable, comme celle dont il a été parlé plus haut (à la page 224* citée). 
Enfin, la même construction étant possible où que soit pris le point 
0, il passe par tous les points de la surface deux courbes analogues à 
OV et OB' 7 . 
Ces courbes, ..., AC, A'C', A"C", ... et..., BD, B'D', B"D",..., ont 
été appelées par Monge, qui les a découvertes, les lignes de courbure 
delà surface. 11 est clair qu’elles constituent sur celle-ci une double 
famille de lignes orthogonales, c’est-à-dire se croisant partout à angle 
droit, le long desquelles les normales à la surface se joignent successi 
vement. On voit qu’elles découpent la surface en rectangles infiniment 
petits et que leurs tangentes en chaque point font connaître les di 
rections des deux sections principales qu’on y mènerait. 
Cette double famille de courbes est évidemment déterminée sur la 
surface z =f(x, y), dès que l’on connaît leurs projections sur le plan 
des xy ou leur équation finie en x et y. Or le coefficient angulaire y 
qui fixe leur direction s’y trouve directement donné, en chaque 
point (¿u, y), par la relation (21) [p. 261*] de la dernière Leçon. 
Cette relation est ainsi l’équation différentielle des lignes de coin- 
bure projetées sur le plan des xy, et, définissant de proche en proche 
leur direction, elle permet de les obtenir a partir d un point de dépai t 
choisi à volonté, de même que l’équation différentielle des lignes de 
pente nous a servi (p. 281*) à trouver leur équation finie.