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LIGNES DE COURBURE ET LIGNES 
Dans certains cas simples, des considérations directes permettent 
de construire sans calcul les lignes de courbure. Quand il s’agit, par 
exemple, d’une surface de révolution, que nous supposerons, pour 
fixer les idées, décrite autour de l’axe des z par une courbe donnée 
dans le plan des zx, les diverses positions de cette courbe, dites les 
courbes méridiennes ou les méridiens de la surface, composent une 
des deux familles de lignes de courbure : en effet, par raison de symé 
trie, les normales à la surface menées aux divers points de l’une d’elles 
ne sortent pas de son plan et s’y coupent ainsi successivement. D’un 
autre côté, les cercles décrits autour de l’axe des z par les divers 
points de la courbe génératrice, cercles appelés les parallèles de la 
surface, constituent la seconde famille des lignes de courbure; car, le 
long de l’un d’eux, les normales à la surface ne sont autre chose que 
les positions successives d’une même normale à la courbe génératrice 
et aboutissent toutes au point fixe où cette normale rencontre l’axe 
des z. 
Si nous prenons comme exemple le tore, ou anneau engendré par 
une circonférence qui tourne autour d’une droite de son plan ne la 
rencontrant pas, les deux familles de lignes de courbure seront 
donc des cercles. L’un des deux rayons de courbure principaux en 
chaque point s’y confondra avec le rayon constant du cercle méridien, 
c’est-à-dire de la ligne même correspondante de courbure. Quant à 
l’autre, il sera le segment de normale compris depuis le point donné 
du tore jusqu’à J’axe des z; et il différera, par conséquent, du rayon 
du parallèle correspondant ou de la seconde ligne de courbure, rayon 
allant perpendiculairement sur l’axe de révolution ou des z à partir 
du point donné. 
Cet exemple montre qu’il faut, en général, se garder de confondre 
ensemble les deux cercles oscillateurs de la ligne de courbure et de 
la section principale qui lui est tangente; mais on déduira l’un de 
l’autre par le théorème de Meusnier (p. 267*), quand l’angle du plan 
oscillateur de la ligne de courbure avec la normale à la surface sera 
connu. 
198*. — Des lignes asymptotiques, dans les surfaces à courbures 
opposées. 
Lorsqu’une surface est à courbures opposées, on peut, en opérant 
comme tout à l’heure pour les lignes de courbure, la parcourir de 
proche en proche, à partir d’un point quelconque, dans des directions 
qui coïncident en chaque endroit avec les directions asymptotiques,