ASYMPTOTIQUES, DANS LES SURFACES COURGES. 2 5 y *
c’est-à-dire avec celles suivant lesquelles la surface est coupée parle
plan tangent mené au même endroit. Les courbes ainsi décrites sont
appelées les lignes asymptotiques de la surface. D’après ce qui a été
dit dans la Leçon précédente (p. 253* et 266*) sur les directions
asymptotiques, il passe deux de ces lignes par chaque point de la sur
face, et les quatre angles qu’elles y forment sont bissectés par les
lignes de courbure s’y croisant.
Les lignes asymptotiques ont pour plans osculateurs les plans tan
gents mêmes de la surface. Celle-ci, en effet, aux environs de son point
de contact avec un de ses plans tangents, s’écarte, par raison de con
tinuité, infiniment moins vite de ce plan, quand on s’y éloigne du
point de contact langentiellement à la ligne commune à la surface et
au plan, que lorsqu’on s'en éloigne suivant une direction quelconque.
Donc les petits écarts de la ligne asymptotique d’avec le plan tangent
sont d’un ordre de petitesse supérieur au second, ou incomparable
ment plus faibles que ceux que présentent les courbes de la surface,
simplement tangentes au plan, menées dans d’autres directions; et
l’on sait que le seul plan avec lequel une courbe donnée présente
des écarts d’un ordre de petitesse plus élevé que le deuxième, est
le plan osculateur de cette courbe. Or il suit de là, si l’on consi
dère la courbure des lignes asymptotiques, que ces lignes entrent dans
le cas d'exception (p. 258*) où le théorème de Meusnier devient il
lusoire.
La relation (3o) [p. 26.0*] de la dernière Leçon est évidemment
l’équation différentielle des lignes asymptotiques, ou plutôt de leur
projection sur le plan des xy, projection dont cette relation donne le
coefficient angulaire y' en fonction des coordonnées x, y de chaque
point; et, déterminant de proche en proche la direction de ces lignes,
elle permettra de les obtenir, de même que l’équation (21) fera con
naître les lignes de courbure. Mais on peut quelquefois, par des con
sidérations plus directes, se rendre très simplement compte de leur
forme générale.
Par exemple, à la surface d un tore dont la circonférence généra
trice a son centre à une distance donnée a de 1 axe de révolution, les
deux ravons de courbure principaux, sur tout parallèle d un layon t-
moindre que a, ou en tout point situé à cette distance v de 1 axe, sont
de sens opposés, et menés, suivant la normale au cercle méiidien
correspondant, l’un, R, de ce point au centre du cercle, 1 autie, R ,
du même point à l’axe de révolution ou des Z] et ces deux xayons
sont entre eux comme leurs projections respectives a ett sur le
plan des xy. D’après la formule (5) [p. 2o3 ] de la demièie Leçon,