p’UN SYSTÈME TRIPLE ORTHOGONAL DE SURFACES. 271*
trois deinees pai tu lies tn ,c, y , cio la fonction p, et que, de même
ceux des normales aux deux autres seront les rapports à Ajp t elà Aj0 2
des dérivées partielles premières de pj et de p 2 . La condition de per
pendicularité des deux surfaces p 1} p 2 , exprimant Légalité à zéro du
cosinus de l’angle des deux normales correspondantes (somme des trois
produits de leurs cosinus directeurs respectifs) sera donc, vu les va
leurs généralement finies des paramètres différentiels A t p 4 , A,p 2j
cht dp
(0
Pi ap 2 dp ! dp.2 dpi dp*
dx dx dy dy dz dz
et elle devra, comme les deux conditions analogues concernant les
normales aux surfaces p 2 , p et aux surfaces p, p t , être vérifiée identi
quement, c’est-à-dire pour tous les systèmes possibles des valeurs de
x,y, z qui correspondent à des points voisins du proposé. On peut
donc la différentier, par exemple, en x, à cause de la continuité de
variation que présenteront, d’un point à l’autre, les cosinus directeurs
des normales, les paramètres Aj de p, p lf p 2 et, par suite, les dérivées
premières de ces trois fonctions p, p,, p 2 . Il viendra
(2)
dpi d î pi dp2 d- p 1 dpi d 1 p 2 dp*, d' 1 p¡
dx dx 2 dx dx 2 dy dx dy
dpi d' 1 p 2
dz dz dx
dy dx dy
dpi d' 1 pi
dz dz dx ° ’
Fi:
et des relations analogues à celle-là s’obtiendront en différentiant de
même en y et u les deux autres conditions de perpendicularité.
Or admettons qu’on veuille considérer les sections principales des
surfaces p, p,, p 2 en un point particulier quelconque M de 1 espace;
et, les formules précédentes subsistant quelle que soitl’orientation des
axes coordonnés, choisissons, pour ceux-ci,
les trois normales correspondantes Mo?, Mjy,
Ms, qui sont les intersections, respective
ment perpendiculaires aux surfaces p, pi, p 2 ,
des plans tangents aux surfaces p t et p 2 , p 2 et
p, p et p t , et qui, par conséquent, ne diffèrent
pas des tangentes aux trois courbes respec
tives MA, MB, MC suivant lesquelles se cou
pent deux à deux ces trois surfaces. La fonc
tion p, constante sur toute l’étendue de la
première surface BG, aura pour dérivées
premières, en M, d’une part, son paramètre différentiel A x p, dans le
sens normal Mx, et, d’autre part, zéro dans les sens tangentiels Mj et
y
mm*
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