THÉORÈME DE Cil. DUPIN. CONDITION POUR Qü’UNE FAM. DE SURF.
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Ms. On aura donc, en M,
(3)
dp
— A ip,
dp
dx
d{y, z) '
et,
de même,
dp 1
= A ip1?
dpi
dy
d{z, x)
= o;
<ip 2
y)
Grâce à ces valeurs des dérivées premières, la formule (2), et les
deux autres analogues où p 2 et p, p et p 1 remplacent pj et p 2 , devien
nent, pour Je point M, si on les divise respectivement par les produits
(A 1 p I )(A 1 p 2 ), (A,p 2 )(Ajp) et (A 1 p)(A 1 p 1 ) différents, en général, de
zéro,
1 d 2 pi i ¿/ 2 p 2
Aj pi dz dx ' A] p 2 dx dy ’
1 dr-Oc, 1 d 2 p
L^_ !— — Q
Ai p 2 dx uy A] p dy dz
1 d % p 1 c/ 2 p !
A! p dy dz Ai pi dz dx
d^Pi 1 ¿/ 2 p 2 , , . ,
■7 >■—t —j—G- égalé zéro; et si, de celte somme
Ai pi dz dx Aip, dx dy 0
Ces trois relations, ajoutées, montrent que la somme des trois termes
t d 2 p 1
Ai p dy dz
nulle, on retranche successivement les premiers membres de (4), on
verra que, Aj(p, p t , p 2 ) n’étant pas infinis, ces équations (4) revien
nent à poser
d^p _ d-pi <^ 2 Pî
(5)
(au point M)
dy dz
dz dx
= o,
dx dy
Or celles-ci expriment justement que M y et Ms, Ms et M x, M#
et M y sont les tangentes principales, en M, des surfaces p, p t , p 2 . En
effet, la première relation (5), par exemple, signifie que, dans les sens
respectifs de M y et de Ms, les deux dérivées premières et ~ ont,
en M, leurs propres dérivées égales à zéro. Donc ces deux dérivées pre
mières, milles en M, ne varient dans le voisinage, le long de M y ou
de Ms, que d’infiniment petits d’un ordre supérieur au premier, et,
par conséquent, les cosinus directeurs -y des normales
Ai p dz Aj p dy
à la surface p sont de cet ordre supérieur de petitesse en deux points
pris, à une distance du premier ordre de M, dans les plans respectifs
xMy, xMz ou, l’un, sur M y, l’autre, sur Ms, à des écarts près du se
cond ordre. C’est bien dire qu’il suffirait de changements de direction