!2* EQUATIONS ALGEBRIQUES 
ficients introduirait celui des facteurs décroissants successifs m, 
m — i, m — 2, . . . qui est zéro, dont la présence annule tous les 
termes ultérieurs. 
20*. — Équations algébriques, à racines réelles, qui se résolvent 
trigonométriquement. 
On remarquera que sin« ne paraît dans l’expression (22) de cos mu 
que par les puissances entières de son carré sin 2 u. En y remplaçant 
celui-ci par 1 — cos 2 «, puis, effectuant les multiplications et réduc 
tions, il est clair que cos mu, exprimé en fonction de cos«, deviendra 
un simple polynôme du m ième degré, à coefficients entiers. 
Si l’on prend pour cos mu le cosinus d’un arc, «, compris (quel que 
soit ce cosinus) entre zéro et 74 et si l’on pose cos u = x, la première for 
mule (22) se trouvera donc changée en une certaine équation du m ièmc 
degré en x, dont tous les coefficients seront commensurables, sauf, en 
général, le terme connu, cos«, du premier membre. Or cette équation a 
autant de racines (réelles) que peut en admettre une équation de son de 
gré, savoir m, et, chose curieuse, ces m racines, généralement incom 
mensurables ou même, le plus souvent, impossibles à exprimer algé 
briquement (c’est-à-dire fonctions algébriques implicites de cos«), 
s’expriment, au contraire, trigonométriquement, avec une extrême 
facilité. En effet, la signification même de la première formule (22) 
montre qu’on rend le second membre égal au premier en posant 
x — cos u et en prenant u égal à la m ièmB partie de tout arc mu ayant 
cos« pour cosinus. Or il faut et il suffit, pour que cos mu — cos«, que 
l’arc mu dépasse soit 4- «, soit — «, d’un nombre entier i de circonfé 
rences (nombre pouvant être o, ±1, ±2, . . .). L’équation algébrique 
considérée admet donc toutes les solutions que représente la formule 
rb a 4- 2 iiz 
x — cos 
ni 
Il est inutile d’y prendre le terme ± a avec le double signe ±4 vu 
qu’on ne modifiera pas le cosinus (fonction paire de son arc) eu chan 
geant, par exemple, — « 4- 2 m en « —- 2474 ce qui revient à prendre 
■a 4-2 isz avec i de signe contraire. Et l’on pourra de plus, en s’eu 
tenant ainsi à 
«4-2 i TC 
x = cos —, 
ni 
ne donner à i que les valeurs consécutives o, 1, 2, 3, ..., ni — 1, 
comprises dans un intervalle égal à ni', car, faire croître ou décroître