3ü8* COURBURE DES LIGNES GÉOD. DANS UNE SURF. DÉVELOPPABLE
montrée dans la dernière Leçon [p. 256*]. Il suffira d’observer qu’ici
la courbure principale de la surface au point (x, y, z), dans le sens
de la génératrice suivant lequel la normale a une direction constante,
se trouvera nulle, et que, par suite, en appelant R le rayon de cour
bure en (x, y, z) de la section normale faite par un plan perpendi
culaire à la génératrice ou tangent à la ligne de courbure non recti
ligne, on aura simplement
i sin 2 v
(5=0
puisque la tangente à la courbe géodésique considérée fera l’angle
complémentaire de y avec cette unique section principale dont la cour
bure ne soit pas égale à zéro. Remarquons, à ce propos, que l’indica-
X 2 Y 2 , . , X 2
trice, ajant son équation -y- + —, i réduite à yy —± i pari hy
pothèse R' = i±=oo, se composera de deux parallèles à la génératrice.
Quand la surface se réduit à un cylindre, que nous supposerons,
pour fixer les idées, avoir ses génératrices verticales, les lignes géo-
désiques, dont les transformées planes sont des droites, prennent le
nom d'hélices, et coupent sous un même angle y toutes les généra
trices, qui, sur la surface déroulée, sont de simples parallèles, La
pente coty de ces hélices est donc constante. Je la désignerai par m\
ce qui donnera pour l’inverse de sin 2 y la valeur i h- 7?i 2 . Et la formule
(62) se changera en celle-ci :
(53)
P = (i -+- w 2 )R,
dans laquelle R sera évidemment le rayon de courbure de la section
droite, ou de la base du cylindre, à son intersection par la génératrice
considérée. Donc, en tout point d’une hélice tracée sur une surface
cylindrique quelconque, le rapport du rayon de courbure de cette
courbe, au rayon de courbure de la section droite du cylindre,
excède Vunité d 1 une quantité égale au carré de la pente constante
de Vhélice par rapport à la base du cylindre.
Observons que l’on aurait pu, du fait que cette pente est constante
ou que le cosinus de l’angle y de la tangente avec l’axe des z a sa dé-
xfivée nulle, déduire la perpendicularité de la génératrice à la normale
principale et, par suite, vu d’ailleurs la perpendicularité de l’hélice à
cette normale principale, conclure la normalité de celle-ci à la surface
même. En effet, les cosinus directeurs de la normale principale étant
proportionnels, dans toute courbe (p. 2io*), aux dérivées premières
de la tangente, il suffit que
des trois osinus directeurs
dx
ds '
dy dz
ds ’ ds