ET SPÉCIALEMENT DANS UN CYLINDRE. 3o(j*
la troisième de ces dérivées s’annule pour que la normale principale
soit dans un plan perpendiculaire à l’axe des
Supposons, enfin, le cylindre circulaire, cas où la courbe devient
une hélice ordinaire et on R est le rayon même du cercle de base du
cylindre. Appelons r le rayon d’une circonférence équivalente à une
spire, c’est-à-dire à un arc d’hélice ayant pour projection sur la base
du cylindre tout le contour 2 7: R de celle-ci, et qui, déroulé, serait
l’hypoténuse d’un triangle rectangle de base 2tR, avec son angle
aigu adjacent complémentaire de y et son troisième côté égal au pas
de l’hélice on portion de génératrice comprise sur le cylindre entre
les deux extrémités de la spire. Alors le rapport de la base 2ttR à
l’hypoténuse 277/* représente siny, et la formule (62), par la substi
tution à siny de ce rapport, devient simplement, en multipliant par r- p,
(54)
7-2 = R p ou
r 2
R*
En d’autres termes, le rayon d'une circonférence équivalente ci une
spire est moyen proportionnel entre celui du cylindre et le rayon
de courbure de Vhélice. Telle est la relation d’où l’on déduira le
rayon, p, de l’arc circulaire en lequel se transforme l’hélice, par le
déroulement, sur un plan, de la surface (appelée hélicoïde dévelop
pable) lieu de ses tangentes.
211*. — Raison de la dénomination des lignes géodésiques; courbure
géodésique des lignes d’une surface.
Si les lignes de longueur minimum entre points voisins, tracées sur
une surface, ont reçu le nom de lignes géodésiques, c’est sans doute
pour rappeler qu’elles sont justement celles qu’on indique sur le ter
rain lorsque, dans des opérations d’arpentage ou de géodésie, on
jalonne ce qu’on appelle des alignements. Alors, en effet, on ramène,
par des projections, les figures existant sur la surface terrestre à ce
qu’elles seraient si cette surface était rendue partout horizontale,
c’est-à-dire partout perpendiculaire à la direction du fil à plomb; et,
de plus, sur trois points consécutifs de tout alignement, Je troisième
est toujours pris dans le prolongement du plan mené suivant le pre
mier et la normale passant par le second, normale que représente soit
un jalon vertical, soit (lorsqu’on emploie l’équerre d’arpenteur, le
théodolite, etc.) deux fils voisins déterminant un plan de visée ver
tical. De fait, si, à cause de la courbure de la Terre, les lignes ainsi
t racées ne sont pas droites, du moins elles sont aussi peu courbes que