LIGNES D’UNE SURF. AYANT LEURS NORMALES GÉODÉS. COMMUNES. 3n*
de A' B'C'D 7 ... et reliant, par conséquent, A 7 B'C'D 7 ... à ABGD...
ne peut être plus courte que AA'. Donc cette ligne géodésique AA'
tombe perpendiculairement sur A'B'G'D' . . . ; et, comme il en serait
Fi S . 38
de même de BB 7 , CG 7 , etc., les deux lignes AE, A'E 7 ont, sur la sur
face, toutes leurs perpendiculaires géodésiques communes, et de
même longueur dans la bande interceptée AA'E'E.
On voit que ces lignes AE, A'E 7 sont, sur la surface, les analogues
des courbes parallèles sur le plan, et que les géodésiques perpendicu
laires AA 7 , BB 7 , . .. sont les analogues des normales communes à deux
courbes parallèles. En prolongeant toutes ces lignes géodésiques, de
manière à leur ajouter de petites longueurs égales quelconques A 7 A",
B'B 77 , G 7 G 77 ,..., on obtiendra une nouvelle parallèle géodésique
A"B 77 G 77 . . ., et ainsi de suite, jusqu’à ce que la longueur totale com
mune des lignes géodésiques issues des points A, B, G, . .. atteigne
telle valeur qu’on voudra A.a — B b —. . ., si les dimensions de la sur
face le permettent.
Dans le cas particulier où la courbe de départ AE se réduit à une
ligne fermée infiniment petite, c’est-à-dire à
un point O, les courbes A a, B b, G c, ... de
viennent les différentes lignes géodésiques O a,
O b, Oc, . . . qui émanent de ce point, et la
parallèle obtenue abccle . .. est l’analogue d’un
cercle, non seulement en ce qu’elle se trouve
partout à la même distance, sur la surface, du
centre géodésique O, mais encore parce que
tous les rayons géodésiques O a, O b, Oc, .. .
la coupent normalement.
On voit que la propriété dont jouit tout
cercle de la sphère, d’avoir ses divers points à une même distance,
sur la surface, de chacun de ses pôles, et d’être perpendiculaire aux