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DÉVELOPPEMENTS, EN SÉRIE, 
21*. — Développements de cos# et de sin# en série. 
Comme on a remarqué tout à l’heure (p. 19*) que le rapport d’un sinus 
à son arc« tend vers l’unité ou que sin u comporte l’expression algé 
brique u (avec une approximation relative indéfinie) quand u devient 
assez petit, les formules (22) et (28) [pp. 11* et 19*] permettront 
d’exprimer algébriquement, sous deux formes différentes et d’une ma 
nière aussi approchée qu’on le voudra, le cosinus et le sinus d’un arc# 
quelconque, de même que la formule (3) de la dernière Leçon (p. /40) 
nous a fourni l’expression algébrique indéfiniment approchée (4) [p. 4 2 ] 
de la fonction exponentielle. Il suffira, pour cela, d’y partager l’arc# soit 
en un très grand nombre pair m — 2 n, soit en un très grand nombre 
impair m = 2« + i, de parties u — — , et de remplacer alors sin u par 
u — — dans les seconds membres de (22) ou de (28) réduits à ne plus 
dépendre que de sin«. Voyons ce que donnera ce procédé à la limite, 
ou quand m grandira indéfiniment. 
Commençons par les formules (22). D’une part, les facteurs comme 
cos m u, cos m ~ l u, ... y tendront tous vers l’unité; car ils sont infé 
rieurs à 1 en valeur absolue, et celui qui l’est le plus, cos m u, devenu 
pourra s’écrire sensiblement, d’après la formule (3) 
[p. 4o] de la dernière Leçon, 1 — sin 2 ou encore, à fort peu près 
(en remplaçant le sinus de — par son arc très petit), 1 — —? quan 
tité qui tend vers l’unité lorsque m grandit. En réduisant donc cos« 
?... à l’unité dans un nombre de 
m m 
termes des seconds membres de (22) de plus en plus grand à mesure 
que m grandit, on voit que ces termes conduisent respectivement 
aux deux expressions 
, • , # m — 1 m 
a 1, sin « a — ? et , — 
ni 
# 6 
1.2 1.2.3.4 1.2.3,4.5.6 
1.2.3 I.2.3.4-5 
Et quant à ceux qui se trouvent plus éloignés dans les développements, 
comme, en valeur absolue, les facteurs cos« y sont moindres que 1, 
les facteurs sin u ou sin — moindres que — et les facteurs 1 —, 1 — — , 
m ni m m 
3 
1 • • • inférieurs à l’unité, ces termes n’atteignent pas, toujours