DES FONCTIONS COS# ET SIN#. 
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en valeur absolue, les termes analogues de la série 
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x# 2 # 3 
11.21.2.3’’’ ’ 
qui comprend tous ceux des deux séries précédentes. Or on sait que 
les termes de celle-ci, très éloignés, paris avec un même signe et en 
nombre aussi grand qu’on veut, ont une somme tendant vers zéro 
quand l’ordre du premier d’entre eux s’élève de palus en plus. Donc, 
les seconds membres de (22) donneront, à la limite, 
X 2 X'* 
I . 2 + I . 2.3.4 ’ 
X # 3 # 5 
I 1.2.3 1 1.2.3.4-5 
On voit par là que les deux fonctions cos# et sin#, développées en 
séries convergentes procédant suivant les puissances entières et ascen 
dantes de l’arc, contiennent, la première, tous les termes de degré 
pair et, la seconde, tous les termes de degré impair du dévelopape- 
ment analogue de l’exponentielle e x , mais que ces termes y sont af 
fectés alternativement des signes -h et —. C’est ce qu’on aurait 
trouvé un peu palus directement en paartant de la formule symbolique 
(21), qui implique les deux relations (22), et en y remplaçant, d’aparès 
la démonstration précédente, cosw paar 1, sin zz ou sin ^-par-^» On 
aurait eu, à cause de ma — x, 
(27) cos#-t-y/—i sin# = 
Or, vu la formule (4) de la dernière Leçon [pa. 42], cette expression 
de cos# H-y/— 1 sin# se confond avec ce que devient le dévelopape- 
ment de e x suivant les pauissances croissantes de x quand on y substi 
tue x\J—1 à x et, paar suite, quand on y sépare en deux séries di 
stinctes les termes de degré pair et les termes de degré impaair, en 
faisant alterner les signes -H et — paour chaque catégorie de termes. 
Les séries (26) sont respaectivement, comme il le fallait, l’expres- 
sion d’une fonction paire et d’une fonction impaire; de palus, chacune 
de ces deux séries a bien l’autre paour sa dérivée, au signe près quand 
il s’agit de la dérivée de cos# ( 1 ). 
I cos# 
(26) 
( sin# 
(’) L’analogie de la formule (27) avec la relation e x — lim^i+ ^j invite à 
chercher si l’on arriverait à celle-ci par une voie analogue, en supposant, comme