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DÉCOMPOSITION, EN FACTEURS, 
22*. — Décomposition de cosa? et de sina? en facteurs; 
formule de Wallis, etc. 
Voyons maintenant ce que donnent les formules (28) lorsqu’on y 
x 
et que n grandit indéfiniment. 
fait de même u — —- ou u — 
2/Î + I 
Comme ces formules (28), combinées avec les précédentes (22) de 
venues maintenant (26), ont été reconnues l’équivalent des identités 
(24), nous joouvons étudier celles-ci au lieu de (28) et y faire grandir 
n. Nous savons déjà que leurs premiers membres deviennent alors 
respectivement, à la limite, les deux séries (26), non seulement par 
leur valeur totale, mais même considérés terme à terme après avoir 
été ordonnés suivant les puissances ascendantes de z. Or, si, dans les 
seconds membres de (24), nous prenons d’abord les i premiers fac 
teurs, en nombre indéfiniment croissant à mesure que n grandit, mais 
tous assez peu éloignés, relativement à l’ensemble des autres, pour 
que les sinus figurant à leurs dénominateurs soient très petits et puis 
sent être remplacés par leurs arcs sans qu’il en résulte des erreurs 
sensibles dans le produit des i facteurs dont il s’agit, ces produits se- 
point de départ, le nombre e choisi de manière que, pour x — 0, la dérivée de e x 
se réduise à l’unité. C’est ce qu’on reconnaît de suite. Les formules (21) ou (22) 
étant remplacées, dans le cas de la fonction exponentielle, par la relation simple 
e mu = (e u ) m , on a, en posant mu = x, e x — (e u ) m . Or le rapport de l’accroisse 
ment, e u — 1, qu’éprouve la fonction exponentielle quand sa variable va de zéro 
à w, à l’accroissement simultané très petit u de celle-ci, ne diffère de la dérivée 
admise, 1, de la fonction pour u — o, que d’une très petite quantité s. On a donc 
e u I = u _|_ g ^ ou 
expression très sensiblement réductible à la forme algébrique n , comme 
m 
l’était sin u à — - Il vient, par suite, 
m 
Posons m — m 1 {i-f-e), et, en observant finalement que la formule (3) (p. 40) 
\ m t 
m t infini). 
rons bien e x = li~\ 
donne, à fort peu près, 
= i-j-sx, c’est-à-dire 1 à la limite, nous au- 
= lim 1 (pour