ront respectivement
DES FONCTIONS COS X ET SIN X.
25*
( 28) / et
Ordonnés suivant les puissances de £, ils ne donneront évidemment
pas des développements ayant leurs coefficients aussi forts que ceux des
séries (25) ; car, pour obtenir, à la limite n = cc, ces coefficients des
séries (26), il faudrait (comme on l’a vu à la fin du n° 20*, p. 21*)
multiplier encore les expressions (28) développées, dont tous les
termes et même toutes les parties de terme ont le signe +, par le
produit des n — i derniers facteurs des seconds membres de (2/4),
produits affectés également dans toutes leurs parties du signe + : or
l’effet de ces multiplications serait évidemment d’augmenter les coef
ficients des diverses puissances de
Mais il est aisé de reconnaître que les augmentations dont il s’agit
là seraient trop faibles pour accroître dans un rapport appréciable
aucun terme sensible de la série, c’est-à-dire aucun terme d’un rang
déterminé (ne s’élevant pas sans limite à mesure que n grandit). En
effet, supposons, pour fixer les idées, z > o, de manière que tous les
n — i facteurs en question non compris dans (28) soient supérieurs à
l’unité; et considérons, par exemple, ceux de la seconde formule (24),
ou de la forme 1 H — ;— • Le sinus qui y figure a avec
(2/1-1- l) 2 SÎn 2 —*——
2B + I
son arc ^toujours moindre que un rapport supérieur à car le
rapport d’un arc positif, moindre que à son sinus, croît avec cet
arc (*) et atteint sa plus grande valeur, - , au moment où le sinus vaut
1. Si donc, dans le facteur binôme considéré H — ——,
(2 n-+- I ) 2 sin 2 ■ J
2« + l
( l ) On le reconnaît en observant qu’un pareil rapport a sa dérivée,
sinai— x cosai ... , . „
: j positive si son numérateur smæ — ai cos a; lest : or il lest en
sin 2 ai
effet, car il s’annule pour x = o et grandit de x = 0 à x — tt, vu que sa propre
dérivée se réduit à x sin ai et est positive entre ces limites.