DÉCOMPOSITION DE COS ¿K ET DE SIN.27 EN FACTEURS. 
—- par le produit de - et de l’arc - ^ —- 5 c’est- 
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ou remplace sin 1 2« + 1 
à-dire par ———, le dénominateur deviendra plus petit et, par suite, 
1 2 n + i 
le facteur binôme lui-même aura été augmenté. Ainsi, ce facteur se 
trouve compris entre leti+ÿ- Or, en comparant cette limite su 
périeure 1 -+- ^ au développement de e kj ' par la formule (i3) [p. 5o] 
où l’on poserait x — on voit qu’elle est moindre et que, par 
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conséquent, le facteur binôme en question se trouve compris entre 1 
et e'* jî . Les n — i facteurs très éloignés multipliés ensemble donneront 
donc un résultat compris lui-même entre l’unité et le produit des ex 
ponentielles de la forme e 4 ^, produit qui est une nouvelle exponentielle 
ayant pour exposant 
Or celle-ci, où i 
(i'+l) 2 (¿-(-2) 2 
grandit indéfiniment avec n, tend vers zéro par suite de la conver- 
gence, reconnue plus haut (p. 9), de la somme des carrés des in 
verses des nombres entiers. Donc le produit de tous les facteurs bi 
nômes très éloignés dont il s’agit converge vers 1, puisqu’il est compris 
entre l’unité et un nombre dont le logarithme tend vers zéro. Et il en 
serait de même, dans le cas de la première formule (24), du produit 
des facteurs très éloignés, qui conduirait comme limite supéxneure à 
une exponentielle où e aurait en exposant 5 multiplié par la somme 
des inverses des carrés impairs {21 -1- i) 2 , (2 i -h 3) 2 , . .., somme évi 
demment inférieure à celle, déjà évanouissante, des inverses de 
(2« + l) 3 , (2 ¿H- 2 ) 2 , (2 i-h 3 ) 2 , 
Ainsi, tandis que les premiers membres des formules (24) tendent 
vers les expressions convergentes (26), les seconds membres devien 
nent les produits (28), où i grandit sans limite : et, de plus, la multi 
plication effective des facteurs (28) donne, à mesure qu’on en accroît 
le nombre, des polynômes ayant leurs coefficients de plus en plus voi 
sins de ceux des expressions (25); car la multiplication ultérieure de 
ces polynômes par les n — i facteurs plus complexes dont il vient 
d’être parlé ne pourrait, lorsque i a crû suffisamment, ajouter encore 
quelque chose de sensible au coefficient d’un terme de rang déter 
miné, terme ayant, par conséquent, une valeur assignable, sans aug 
menter sensiblement aussi cette valeur et, par suite, la valeur même 
du polynôme correspondant, ce qui est impossible d’après la démon 
stration précédente. Il n’y aura d’écart relatif notable que pour les