3 0 * PROPRIÉTÉS DES COSINUS ET SINUS HYPERBOLIQUES : 
rnents (34) grandissant évidemment avec x en valeur absolue et ayant 
tous même signe, ces fonctions s’éloignent indéfiniment de zéro en 
même temps que x, tandis que, dans le sinus et le cosinus ordinaires, 
les changements de signe d’un terme à l’autre empêchent les séries 
de dépasser la valeur absolue i et rendent possible leur périodicité. 
Le cosinus hyperbolique, fonction paire, grandit de i à oo quand x va 
de zéro à ±oo, et le sinus, fonction impaire, grandit de —oo à zéro, 
puis de zéro à + oc, quand x croît de — co à zéro et de zéro à + co. 
Voyons ce que deviendront dans ces fonctions les diverses propriétés 
des sinus et cosinus ordinaires. Et d’abord, si l’on désigne ¡:>ar « la 
variable, les carrés cosh 2 « et sinh 2 « auront tous les deux pour déri 
vée 2 cosh « sinh «, en sorte que leur différence sera invariable et 
égale à sa valeur pour « — o (alors que le cosinus vaut i et, le sinus, 
zéro). Ainsi, la relation (16) [p. 58] sera remplacée par celle-ci 
(36) cosh 2 «— sinh 4 M = i, 
qui montre que la différence entre le cosinus et le sinus, égale à i 
pour u — o, s’atténue à mesure que « grandit; car ces deux fonctions 
croissent alors toutes les deux sans que l’écart existant entre leurs 
carrés augmente. 
De même, quand la différence « — v sera constante, les expressions 
cosh u cosh v — sinh u sinh v et sinh« cosh v — cosh « sinh v auront 
leurs dérivées milles et garderont constamment leurs valeurs relatives 
au cas où v = o et où u vaut la différence donnée « — ç ; de sorte que 
les formules (17) et (18) [pp. 7* et 8*] subsisteront, à part le change 
ment de signe du dernier terme dans la première. Et, en mettant — v 
au lieu de v, il viendra, pour tenir lieu des formules (19) [p. 8*], 
^ ( cosh ( « -+- v) = cosh « cosh v -h sinh « sinh v, 
l sinh (u -4- v) — sinh u coshu -H cosh« sinhp. 
On en déduirait des formules analogues à celles de la Trigonométrie 
pour cosh2 u, sinh 2 u, cosh — , sinh —, . . ., et même pour la tangente 
hyperbolique de la somme de deux arcs (rapport du sinus hyperbo 
lique de cette somme à son cosinus hyperbolique, comme on verra 
bientôt). 
Les propriétés (36) et (37) se vérifient d’ailleurs directement en 
substituant à cosh«, sinh«, coshc, sinhc, et à cosh(« + c), 
sinh («-i-c),leurs valeurs sous forme finie -|(e" + e~ № ),\{e u —e~"), 
L’effecluation des multiplications indiquées montre aisément l’égalité 
des deux membres dans chaque formule.