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i - ra invariable et 
ai| t 1 le sinus, 
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sinus, égale à i 
s deux fonctions 
tant entre leurs 
les expressions 
'/siahv auront 
ileurs relatives 
: de sorte que 
wt le change- 
mettant —ç 
) [p- H 
Tngonomélrie 
povwla langenle 
sinus hyperbo- 
comme on verra 
■s directement en 
, à cosh(« + i')t 
),!(«•—C - ")» •••• 
ii-émenl l’égalité 
LEUR DÉCOMPOSITION EN FACTEURS, ETC. 3i* 
Par suite, la relation symbolique (20) [p. n*] deviendra beaucoup 
plus simple, vu qu’on n’aura pas à s’y préoccuper de changements de 
signe, et elle pourra s’écrire 
cosh( u -1- v -H ...) -f- sinh( u H— v -4-... ) 
= (cosh u -+- sinh n)(cosh v 4- sinh v). .., 
où il suffira de grouper, dans le produit des facteurs du second 
membre, d’une part, les termes qui auront en facteur un nombre pair 
de sinus, pour en faire l’expression du cosinus hyperbolique de la 
somme u ■+■ v -+-..., et, d’autre part, les termes affectés d’un nombre 
impair de facteurs sinus, pour en former l’expression du sinus hyper 
bolique de « + En conséquence, les cosinus et les sinus des 
multiples d’un arc seront encore exprimés par les formules (22) 
[p. 11*], mais où tous les termes auront le signe + , 
Enfin, les relations (29) [p. 27*], en y faisant z = x' 2 , donneront 
évidemment, si l’on multiplie la seconde par x, 
4^ 2 ] 
li' 2 I) 2 TC 2 J 
Telles sont les expressions du cosinus et du sinus hyperboliques dé 
composés en une infinité de facteurs, tous du second degré et essen 
tiellement positifs, à l’exception du premier x de la seconde fonc 
tion. 
Par analogie avec la tangente ordinaire tan g u — - Sl n u - et avec la 
0 0 COSii 
cotangente ordinaire cot u — on appelle tangente hyperbo 
lique le rapport du sinus hyperbolique au cosinus hyperbolique et, 
cotangente hyperbolique, l’inverse. On a donc, notamment, 
(4o) 
tangh u — 
sinhiz e u —e~ a 
coshii e u -+- e~ a 
u u 3 
I 1.2.3 
u 2 
1.2 
La dérivée du quotient constituant le second membre est, d’après une 
... cosh 2 ii — sinh 2 M .... . . 1 
regie du n° 11, r-r > c est-a-dire, simplement, tt—? si 
& ’ cosh 2 u ’ 1 ’ cosh 2 u 
l’on tient compte de la relation (36). Ainsi, une tangente hyperbolique 
a pour dérivée l’inverse du carré du cosinus correspondant, 
tout comme une tangente ordinaire. Cette fonction, la même pour