TANGENTES ET COTANGENTES HYPERBOLIQUES.
ce— O que la tangente ordinaire et ayant de plus à ce moment la même
dérivée que celle-ci, varie donc, comme elle, dans le même sens que
sa variable, puisque les dérivées de l’une et de l’autre tangente sont
essentiellement positives. Mais, à l’inverse de ce qui arrivait pour la
tangente ordinaire, qui prenait, de u —— - à u — -, toutes les valeurs
entre — oo et -h oo, elle ne croît que depuis — i jusqu’à -h i quand sa
variable grandit de —oo à + oo. On le voit le plus simplement pos
sible en observant, d’une part, qu’elle est fonction impaire de a et,
£li g — Il
d’autre part, qu’on peut l’écrire ——---- ou bien, en multipliant par
à l’unité pour la valeur, u — oo, annulant e~ ïu .
On peut donc prévoir que le rapport de la tangente hyperbolique
à l’arc, rapport égal à i, d’après le dernier membre de (4o), à la li
mite u — o, décroîtra de i à zéro quand la valeur absolue de l’arc
croîtra de zéro à l’infini. Et, en effet, si l’on prend la dérivée de ce
tanghu . ,
rapport —~, on trouve successivement, abstraction faite du dé
nominateur positif u * 2 ,
u i _ u—sinhiicosliM (2 u) — sinh(aM)
cosn 2 M cosfi 2 u 2 cosh 2 u
expression dont le signe est celui de l’excédent d’un arc sur son
sinus hyperbolique. Or la formule (34), en série, d’un sinus hyper
bolique montre que le rapport du sinus à l’arc grandit avec la valeur
absolue de celui-ci et dépasse l’unité dès que l’arc n’est plus nul.
Donc l’expression (2 u) ■— sinh(2«) est négative quand u est positif,
. . tangh u . ,,
et le rapport -———-, ayant alors sa denvee négative, décroît a me
sure que u grandit ( 1 ).
(') H en est autrement du rapport, - anb U -, de la tangente ordinaire à l’arc; ce
rapport grandit avec la valeur absolue de l’arc u, au moins tant que u n’atteint
pas un quart, —, de circonférence. En effet, si l’on considère le rapport n& 11 ,
2 u
égal encore à 1 pour u très petit, et qu’on en prenne la dérivée, celle-ci, abstrac
tion faite du dénominateur u 2 , est
u
u — sin u cos u
cos 2 u
( 2 u) — sin( 2 u )
cos 2 u
et elle se trouve positive, comme l’excès de l’arc 2 u sur son sinus.