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RÉDUCT., PAR LES IMAGIN., DES FONCT. CIRCUL. A LA FOXCT. EXPONENT. 33* 
21*. — Des exponentielles imaginaires. 
Les formules (29) [p. 27*] nous ont donné, d’une part, les deux 
fonctions coscr et S ~—•> en y posant z = — x 2 , d’autre part, les deux 
fonctions cos hcr et -”7— ’ en y posant s == x-. On passe donc des 
fonctions hyperboliques cosinus et sinus, demi-somme et demi-diffé 
rence de deux exponentielles comme e x , e~ x , aux fonctions circulaires 
de mêmes noms, par un changement de signe du carré de la variable 
dans les séries (34) et (26) exprimant ces fonctions, c’est-à-dire par 
la substitution de x\—1 à x, d’après le sens expliqué plus haut 
(p. 10*) du symbole\J—1. 
Ainsi, l’introduction d’imaginaires de la forme a-\-b\J—i,àla 
place de x, dans les séries ( 13), (26), (34) exprimant e x , coscr, sino?, 
cosher, sinha?, peut être utile, puisqu’elle ramène les fonctions cir 
culaires aux fonctions hyperboliques et, par suite, aux exponentielles. 
C’est pourquoi l’on a été conduit à appeler exponentielle imaginaire, 
et cosinus, sinus, cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique d’un arc 
imaginaire a -h b \J—1, les expressions symboliques, de la forme 
P -h Q \J— x, produites par la substitution de a-v- b\J— 1 k x dans 
ces séides respectives. 
Les deux parties réelles P, Q, qui y figurent, se trouvent, d’ailleurs, 
parfaitement déterminées. Soit, en effet, p le module de a-h b \J— x' 
(racine carréepositive de a 2 -t- b 2 ) et 0 son argument ( arc, compris entre 
— 'ïz et iz, dont le cosinus vaut - et le sinus - ); a-h b\]— 1 ne sera 
autre que p (cosO -t- \J— x sinô) et sa puissance n ième , en y appliquant 
la formule de Moivre, s’écrira p n (cosnQ -+- \J—1 sin«o). Donc au 
cune des deux expressions réelles, p ra cos/i6 et p"sin/¿0, fournies par 
celte puissance, ne dépasse p n en valeur absolue, et, par suite, les 
restes des séries considérées P, Q seront inférieurs à ceux des séides 
qu’on obtient en remplaçant x par p dans les proposées ( 13), (26), 
(34) dont on prendrait tous les texanes positivement. Comme cette 
circonstance ne les empêche pas d’ètre convergentes, il en sera bien 
de même de P et Q. 
Toutes les propriétés qu’expriment la relation fondamentale 
e u e v = e ll+v et les formules (16), (19), (20), (22), etc., ou celles qu’on 
en déduit, s’étendent à ces expressions 
B. — I. Partie complémentaire. 
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