EXPONENTIELLES, COSINUS ET SINUS IMAGINAIRES., 
Rappelons, pour le démontrer, en faisant d’abord abstraction des 
fonctions hyperboliques, combinaisons évidentes d’exponentielles, 
que les séries considérées (i3) et (26) résultent des formules (4) 
[p. 42] et (27), où 7n est un exposant entier et positif que l’on prend 
de plus en plus grand. Autrement dit, les fonctions exponentielle, 
cosinus et sinus sont définies de la manière la plus générale par les 
formules 
(4 0 
qui font d’elles, en quelque sorte, des expressions algébriques en 
tières, comportant le plus simplement possible l’introduction d'élé 
ments de la forme a -+- b \J— 1, puisque ce n’est qu’à la fin des com 
binaisons ou calculs qu’on prendra m — 00 dans les résultats. Cela 
posé, en multipliant par les règles de l’Algèbre e u et e v ainsi définis, 
il vient 
où le dernier membre se réduira bien, évidemment, à e u+v quand on 
rendra m infini. Ainsi la relation e u e v — e u+v est générale ; et il va sans 
dire qu’on en déduit de suite e w e v e w . . . = , e ll e~ u = e° = i, 
(e u ) n = e nu si n est entier, etc. 
D’autre part, la seconde formule (40; dont le premier membre 
peut, vu la première (40> s’écrire e^v -1 , et où cosx, sina; sont res 
pectivement une fonction paire et une fonction impaire, équivaut aux 
deux suivantes, 
(43) e x s~^ = cos37 -H sJ—1 sin27, e —«y/—1 = cosx—s/—i sina?, 
qui, ajoutées ensemble ou retranchées l’une de l’autre, donnent 
(44) cosa? = 1 e~ x 'J—1), y/— 1 sina? = |-(e a V~ 1 —e~ x 'l~ % ), 
et permettent ainsi d’exprimer un cosinus ou un sinus au moven de 
deux exponentielles. Or la formule générale e li+v — e u e v : si l'on y 
remplace m, eparrh u\J— 1, ± v \/— î, où u et v n’en restent pas moins 
quelconques, devient 
ß±(u+v)\l— 1 
= e ±u J~ l e- v {—î\