PERIODE IMAGINAIRE DE 6 X . LOGARITHMES IMAGINAIRES. 
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in restent pas moins 
relations symboliques qu’on peut écrire, d’après (43), 
cos( II — v) -1- y/ — I sin(ii -f- v) 
= (cos U -+- /- I sin u) (cos P + / — I sin V) , 
cos( u -4- v) — y/— I sin (« -f- c) 
= (cos II — \J — I sin II) (cos v — y/ — I sin v). 
Et celles-ci, de la forme de (20) [p. 11 *], donnent immédiatement les 
formules (19) [comprenant (16), (17) et (18), pp. 58, 7* et 8*] par leur 
demi-somme et leur demi-différence, après qu’on a effectué dansles se 
conds membres les multiplications indiquées. De e u+v+WH — — e n e v é w " % 
on passerait de même à la formule de Moivre (21), qu’il faudrait encore 
dédoubler en y mettant successivement -+- a et — u au lieu de u, afin 
que la demi-somme et la demi-différence des résultats conduisissent 
aux expressions (22) de cos mu et de sin mu. Enfin les deux relations 
(29) [p. 27*], qui deviennent à la limite des identités, montreraient 
encore que les décompositions (3o) de cosir et de sin.27 en facteurs 
sont valables pour des arcs imaginaires comme pour des arcs réels. 
De ce que les formules (19) subsistent, on déduit que 
cos (a? -t- 7ï) = cosx costï — sin a? sin 7Z = — COSX, 
sin {x —I— TT) = sin 37 COS TT -t- COS37 sinTÏ = — sin37. 
Ainsi, ajouter tz à un arc imaginaire, c’est, comme pour un arc réel, 
faire changer simplement de signe son cosinus et son sinus. Et, par 
suite, ces fonctions redeviennent les mêmes quand l’arc croît de 27: : elles 
continuent à admettre la période ir.. D’autre part, si l’on considère 
l’exponentielle e x , et qu’on ajoute ir.\J—1 à l’exposant, elle sera 
multipliée par eW- 1 ou, d’après (43), par cos27ï-i-y/—1 sin2-i7= t. 
Elle n’aura donc pas changé; et c’est ce que l’on exprime en disant 
qu’à la période réelle, 27c, des fonctions cosinus et sinus, il correspond 
la période imaginaire 2-rry/—1 de la fonction exponentielle. Par con 
séquent, la fonction exponentielle est, elle aussi, périodique, à sa ma 
nière. 
Toute expression de la forme a -1- b\J— 1 ou p(cos6 -\-\J— 1 sinff), 
si l’on y substitue e log P au module (toujours positif) p et, d’après (43), 
gOy'- 1 à l’autre facteur cosO-hy/—j sin6, devient l’exponentielle 
girgp+Qv^T^ et e ][ e p eu t même, comme on vient de voir, s’écrire 
e iogp-H9+2iu)v/-i ) i désignant un nombre entier quelconque ou 2 îtz\J—1 
tout multiple de la période 2-jt \J— 1. 1! est naturel d’appeler loga