/¡0* EXPRESS. DE COS' 1 ^ ET DE SIN' 1 ^ EN FONCT. LINÉAIRE DES COS ET SIN. 
la puissance /¿ ième les deux membres de chacune, en développant les se 
conds membres des résultats par la formule du binôme et en y grou 
pant ensemble les termes équidistants des extrêmes, qui ont, comme 
on sait, mêmes coefficients (du moins en valeur absolue). Il viendra 
I i n cos b îc = {e nx J~^-\- e~ nx '/~ l ) 
i ( gin—2)x/— 1 _|_ g— in—i)x^— i ) 
I 11 ( ,l (gin—\)X\J— 1 g — in — k)xj— 1 ) _i_ 
y 
' 1 2" (/—ï) n sin” x — (e na V— 1 rt e~ nx \f—ï) 
H f gin—1 + g—lu—i)X<J— 1 ) 
I I v 
1 _|_ n ( n l} (gin— -j- g—in—\)x /— 1 j 
1 1.2 v / • ■ • 1 
les signes supérieurs H- correspondant, dans la seconde formule, au 
cas de n pair et les signes inférieurs — au cas de n impair. Or tous 
les binômes entre parenthèses, dans les seconds membres, sont de l’une 
ou de l’autre des deux formes e u 'l~ x zt e~ u ^~ x , qui représentent res 
pectivement 2 cos u et 2 \J—i sin«. Donc les deux formules (46) don 
neront les puissances 77 ièmes du cosinus et du sinus de l’arc x en fonc 
tion linéaire ou des cosinus, ou des sinus, de ses multiples nx, 
(n — 2)x, (n — l[)x, etc. 
2° Soit à décomposer en ses facteurs réels les plus simples possibles 
l’expression X" ! q: A™, ou (ce qui revient au même, comme on l’a vu 
en Algèbre) à résoudre Véquation binôme X w zp A. m = o, A désignant 
un nombre positif. Et, d’abord, on prendra pour inconnue le rapport 
X 
— =zx, afin que l’équation devienne simplement x m = ± i. Alors, en 
posant x — e Us l~ x et appelant 0 l’arc, zéro ou tt, qui donne 
=± i, 
cette équation se trouvera réduite à r= eV- 1 : elle exprimera 
que les deux arcs mu et 6, ayant même cosinus et même sinus, ne 
peuvent différer que par un nombre entier, i, de circonférences 21:, 
On aura donc 
a . 0 —t— 2 £ TT 
m u — 0 -4- 2 1 tt, u = ; 
m 
et les 7n racines de l’équation proposée x m zp i — o s'obtiendront en