TRANSFORMATION PROFONDE DES FORMULES,
On peut donc tirer des expressions imaginaires un grand parti,
dans certaines questions difficiles, même quand on ne cherche que
des relations entre quantités réelles. Il est clair, par exemple, que
toute formule exprimant une propriété de fonctions exponentielles
deviendra, à cause des relations (43), une certaine formule symbo
lique entre des cosinus et des sinus, si l’on y change les variables,
x, u, c, ..., en x\J—i, u\j— i, Supposé donc qu’on
puisse ensuite, comme nous l’avons fait plusieurs fois, décomposer
cette formule symbolique en formules ordinaires entre quantités, l’on se
trouvera avoir, pour ainsi dire, transposé dans le monde géométrique
des fonctions circulaires un fait d’Analyse démontré d’abord unique
ment pour des exponentielles, et lui avoir donné de la sorte une forme
toute nouvelle. C’est ainsi que les formules (45) nous ont permis de
ne voir, dans les expressions classiques de cos (m H-c) et de sin(«-{- c),
qu’une application de la propriété fondamentale e u+v =z e n e v des expo
nentielles. Or il est avantageux de pouvoir parfois opérer de tels rap
prochements; car la fonction exponentielle, étant égale à sa dérivée,
se manie avec beaucoup plus de facilité que les fonctions circu
laires, et des relations très cachées où figurent celles-ci ont souvent
comme une première forme simple, facile à saisir, entre exponen
tielles.
Voici un dernier exemple, dont nous pourrons nous servir plus tard,
de ces sortes de transpositions (ou passages d’une forme réelle à une
autre par le moyen d’une forme imaginaire), qu’il est bon de savoir
opérer.
Soit l’expression, somme de deux exponentielles,
|(A-+- B)e<«+ 6) *-+- |(A — B)^«-^.
Supposons qu’on y change h en b\J—i et B en By/—i. En mettant
e ax en facteur commun, elle deviendra
4 e ax [( A -t- B v/^m)e'W r i-t- ( A— B \/~i) e-W^].
Substituons-y, d’après (43), cosbx ± \J — i sinè# à e ±W-i et grou
pons ensemble, d’une part, les coefficients de cos bx, d’autre part,
ceux de sin bx. Il viendra simplement
e ax {\. cos bx — B sin bx).
Enfin, appelons G la racine carrée de la somme A 2 +B 2 et c l’arc,
V P
compris entre — tc et tt, qui a pour cosinus et pour sinus ^ : A et B
G
