DES SURFACES ET DE CELLE DE LEURS PLANS TANGENTS. ^g* 
Pour le démontrer, reconnaissons d’abord que, si l’on s’éloigne d’un 
point donné quelconque M (¿c, y, z) du lieu F {x, y, z) = c, le long de 
lignes qui y soient tracées, tous les points ainsi atteints, infiniment 
voisins du premier {x, y, s), se trouveront, par rapport à celui-ci, 
dans des directions comprises à l’intérieur d’un même plan. En effet, 
d’une part, x, y, z, pour l’une quelconque de ces lignes, seront, comme 
précédemment (p.g4), trois fonctions d’une même variable t, liées 
ici par la relation F {x, y, z) — la constante c; de sorte que la 
différentielle en t de la fonction composée F [x, y, z), s’annulant, 
permettra d’écrire 
08) 
cl F , cl F . 
—r— clx H r- CIV 
dy J 
clx 
dF 
dz 
dz 
o, 
avec une erreur absolue de la forme s \Jdx 2 -t- dy' 1 -f- dz 2 et, par con- 
séquent, négligeable dans (18) .pourvu que les trois dérivées -j- > 
C ~-5 ne soient pas milles simultanément au point (x,.y, z). 
D’autre part, en appelant encore x 1 , y l} z t les coordonnées cou 
rantes de la droite qui joint le point M(,r, r, z) au point voisin 
(x -+- dx, y + dy, z -+- dz) de la ligne en question tracée sur le lieu 
F{x,y,z) = c, les trois différences x l — x, r, — y, z 1 — z seront 
proportionnelles à dx, dy, dz. Ainsi, la relation (18) deviendra 
/ . dF . d¥ , dF . , 
(,£l) 
et celle-ci, étant du premier degré en x i , y u z L , rej)résentera bien un 
plan, savoir le plan tangent cherché, lieu de toutes les cordes infini 
ment petites prolongées, ou tangentes à la figure, issues de (x, y, z). 
C’est évidemment le plan exprimé sous une autre forme par l’équation 
( 1 7) [p. g5] aux points où les dérivées partielles p et q de s en x etj 
sont finies et déterminées; d’où il suit que, en résolvant (19) par rap 
port kz t — z, les valeurs de z l — 5 obtenues égaleront constamment 
celles que donne (17), et, cela, soit quand l’une des deux quantités 
x { — x, y 1 — y s’annulera, l’autre étant quelconque, soit pour des va 
leurs arbitraires de x y — x et de y y — y. Il en résulte l’égalité de p, <7 
, . j dF dF dF 
aux deux quotients respectifs de -— par > circonstance 
qui sera directement reconnue dans une prochaine Leçon. 
Cherchons maintenant comment varie la fonction F (x, y, z) dans 
tout l’esjDace voisin du point considéré M. A cet effet, concevons que, 
le plan tangent en M étant tracé, on lui mène par ce point M une per- 
B. — I. Partie complémentaire. 4