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DES POINTS SINGULIERS DE CERTAINES SURFACES.
pendiculaire, dite la normale à la surface F{x, y,z) — c,el que l’on
tire encore, à partir de M, une infinité de droites formant avec la
normale un angle constant presque droit, ou avec le plan tangent un
certain angle très petit, qui pourra être d’autant plus voisin de zéro
qu’on devra moins s’éloigner de M dans l’espace. Ces droites et
leurs prolongements dessineront évidemment une surface conique, com
prenant deux cônes circulaires très ouverts, opposés parleur sommet
M et ayant pour axe la normale. Cela posé, si l’on passe du point
{x, y, z) k tout autre point voisin (cv h- îsx, y -h Ay, z h- A^) de l’es
pace, en suivant une droite dont les coordonnées seront trois fonc
tions d’une même variable t, la fonction F{x, y, z) croîtra, d’après
(4) [p. 82], de la quantité
20)
AF =
dF
dx
Lx
dF
dy
ST. + £ i AT
dF
dz
Or celle-ci est sensiblement réductible à la somme des trois termes
dF dF dF cii . . •
—— \x, -j— Ay, -y- A z, saut dans le cas ou ces termes principaux se
dcc dy dz
neutralisent à fort peu près ; ce qui, évidemment, n’a lieu que poul
ies directions faisant de très petits angles avec le plan tangent (19) et,
à la limite, situées dans ce plan, d’après la manière même dont son
équation a été obtenue. C’est dire que, pour les droites assez courtes
issues de M et comprises à l’intérieur des deux cônes très ouverts
dont il vient d’être parlé, l’expression de Af peut être réduite à
d F . dF A d F
d^ + ~cfy Aj + dz
A *,
et change simplement de signe avec t\x, Ay, A z, savoir, quand on passe
d’un cône à l’autre. Ainsi, la fonction continue F[x, y, z) est plus
grande que c dans l’un d’eux, plus petite que c dans l’autre; d’où il
suit qu’elle atteint à un certain moment la valeur c le long de toute
petite droite normale au plan tangent et joignant les deux nappes de la
surface conique. Elle n’égale d’ailleurs c qu’en un seul point de chacune
de ces petites droites ; car, le long de celles-ci, \x, Ay, As passent par les
mêmes valeurs que le long de la normale issue de M, et AF y varie de
a -, j, . , . dF dF dF
meme, vu que les denvees continues^, —, — sont peu diiïerentes
pour tous les points considérés. La surface possède donc en M une
nappe et une seule, qui s’étend tout autour dans la direction du plan
tangent, en ne s’en écartant que d’une manière graduelle.
Observons enfin qu’il a été fait abstraction, dans ce qui précède,
des points {x, y, z) de l’espace où se vérifient à la fois les trois équa-