DE LA DÉRIVÉE D’UNE FONCTION DE POINT SUIVANT UNE DIRECTION DONNÉE. 5l* 
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néralement en nombre limité, et la fonction F(æs, y, z) n’y prend, par 
conséquent, que certaines valeurs. Seules, les quelques surfaces 
F(.27, y, z) = c correspondant à ces valeurs y passeront. La démon 
stration précédente ne s’appliquant plus à ces points, les surfaces dont 
il s’agit pourront, dans une étendue infiniment petite tout autour, ne 
plus ressembler à un simple plan, comme le montrera une discussion 
ultérieure. Alors on appellera de tels points, de même que leurs pa 
reils dans les courbes planes, des points singuliers. 
43*. —Différentiation d’une fonction de point le long d’un chemin donné. 
Notre étude précédente sur les courbes planes et sur les sur 
faces nous a conduit à considérer, soit dans un plan, soit dans l’espace, 
des fonctions de point F{x, y) ou F(,r, y, z); et nous avons vu com 
ment elles deviennent des fonctions composées d’une seule variable 
indépendante, quand on traite de leurs valeurs le long de lignes quel 
conques, où les coordonnées x et y, x, y et z sont des fonctions arbi 
traires d’une variable auxiliaire t. On rend plus précis le sens de ces 
fonctions composées en choisissant pour la variable t, comme il a été 
indiqué au n c 15 (p. 45), l’arc même s de la ligne décrite, compté à 
partir d’un point déterminé de celle-ci. Alors la dérivée de la fonction 
F, pour un point donné (x, y) ou (x, y, z), représente le quotient, 
par un arc élémentaireds commençant à ce point, de l’accroissement 
dF qu’éprouve la fonction depuis cette première extrémité de l’arc ds 
jusqu’à la seconde (x 4- dx, y 4- dy) ou (x h- dx, y h- dy, z 4- dz). 
On peut, d’ailleurs, d’après un théorème de la première Leçon 
(p. 16), remplacer ds par la corde ou élément rectiligne qui joint 
le point {x,y ) ou {x, y, z) à ce second point {x 4- dx, y -+- dy) ou 
<r/F 
(.x + dx, y 4-dy, z 4- dz) : aussi le rapport — est-il appelé la déri 
vée de la fonction suivant l’élément rectiligne ds. 
Imaginons, pour plus de simplicité, qu’on rapporte le plan ou l’es 
pace à un système d’axes coordonnés rectangulaires, de manière que 
les accroissements dx, dy, dz soient les trois projections, sur ces axes, 
de la corde ou de l’arc ds, et égalent les produits respectifs de ds par 
les cosinus (dits cosinus directeurs) des angles sous lesquels se font 
ces projections, ou qui sont ceux de l’élément rectiligne ds, tangent à 
la courbe parcourue, avec les trois directions des x, y et z positifs. 
J’appellerai a et b, ou a, b et c, ces cosinus directeurs ^ et ou 
11 ds ds