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PARAMÈTRE DIFFÉRENTIEL, DU PREMIER ORDRE, 
—, ~ et -r • Les dérivées de x et de y, ou de.#, y et seront donc 
ds ds ds J J 
respectivement a et b, ou a, b, c\ et la dérivée considérée de F aura, 
d’après (6) [p. 82], l’expression suivante 
(21) 
dF 
ds 
soit 
soit 
dF 
dx 
dF 
dy ' 
dF , dF dF 
-j- -+- b -r- -+- c -7-, 
dx dy dz 
les cosinus a et b, ou a, b et c, vérifiant d’ailleurs, à cause de 
dx- + dy 2 — c/5 2 ou de dx 2 y- ¿/y 2 H- dz 2 — ds 2 , la relation a 2 -h b 2 — 1 
ou a 2 -+- b 2 -H c 2 =. 1. 
44*. — Paramètre différentiel du premier ordre d’une fonction de point. 
Cela posé, bornons-nous d’abord au cas de deux variables x, y, et 
donnons successivement à l’élément ds, tracé sur le plan, toutes les 
orientations possibles autour de {x, y), en lui supposant, en premier 
lieu, la direction des x positifs, puis le faisant tourner, autour de son 
extrémité fixe {x, y), dans le sens qui va des x positifs vers les y po 
sitifs, et, chaque fois, d’une même fraction infiniment petite d’angle 
droit. Nous pourrons nous proposer de chercher la moyenne arithmé 
tique des valeurs que recevra, suivant toutes ces directions, soit la 
dérivée ——, soit son carré. Dans le second membre de la première 
ds 
relation (21), ou dans son carré développé, les seules quantités variables 
avec la direction seront les coefficients a, b, a 2 , b 2 , ab-, en sorte que, 
si m désigne le nombre très grand (infini même à la limite) des direc- 
dF c/F 2 
tions considérées, les sommes des valeurs de -r- ou de —nr> divisées 
ds ds 2 
parleur nombre, s’obtiendront en ajoutant les produits respectifs soit 
, dF dF 
de —r- et —7— 
dx dy 
soit de 
c/F 2 
c/F 2 dF dF , , 
5 2 — — ? par les 7?i lcmes parties des 
dx% dy 2 dx dy 
sommes des valeurs de a, b, ou de a 2 , b 2 , ab. Autrement dit, supposé 
que l’on appelle moya, moyô, moya 2 , ... la valeur moyenne de a, 
de b, de a 2 , . . ., il viendra 
(22) < 
dF c/F c/F 
mo y ~d7 = ( m °y «) ^7^ -f- (raoy ¿>) 
ds '“' JJ "‘ , dx 
c/F 2 „.¿F 
- S r = C“°ï« , ) s> 
Or la moyenne des valeurs ou de a, ou de b, ou du produit ab est 
c/F 2 ,s c/F 2 c/F 2 , 7N c/F c/F 
m °y^ ( m °y a2 ) + ( m °y 62 ) ^ + 2( moy «6) — — ^