d’une fonction de point considérée dans le plan. 
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eur movenne de a. 
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«>0J ai) àf 
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nulle : car, d’une part, à deux directions opposées de l’élément ds il 
correspond des valeurs égales et contraires de a et b] d’autre part, à 
une même valeur soit de a, soit de b, il correspond deux directions, 
symétriques par rapport à une parallèle à l’axe ou des x ou des y, 
pour lesquelles les deux valeurs, soit de b, soit de a et, par suite, de 
ab, ont même grandeur absolue avec signes contraires. Et quant aux 
valeurs moyennes des carrés a-, b-, elles sont égales, vu qu’il y a, pat- 
rapport à chacun des deux axes coordonnés, un même nombre d’élé 
ments ds disposés pareillement un à un, et que, par suite, les valeurs 
de b forment, rangées convenablement, la même série de quantités 
que les valeurs de a. Mais, a--h b- valant i. la somme totale des carrés 
de ces deux séries de m quantités égale m, et il vient, en divisant 
cette somme totale par m, moya- -+- moyb- = iLes deux moyennes 
égales moy a 2 , moyè 2 ont donc pour valeur commune Ainsi les for 
mules (22) deviennent simplement 
(2-3) 
d F 
moy 
d F 2 
ds- 
1 /dF* _ d F» \ 
2 \ dx 2 ‘ dy 2 ) 
La première n’offre pas d’intérêt; mais la seconde, en observant 
qu’une quelconque des directions considérées pourrait être prise pour 
celle des x et une des deux directions perpendiculaires pour celle 
des y, montre que le carré de la dérivée de la fonction, en un point 
donné {x, y), a pour moyenne de ses valeurs, relatives à toutes les 
directions possibles autour de ce point, la demi-somme de ses deux 
valeurs se rapportant à deux directions rectangulaires quel 
conques. En un point déterminé du plan, l’expression positive 
dF 2 
\/ 
dF 2 
2 m0J 'ds 2 ’ qUe que 
■ -+- if—r acquiert donc la même valeur 
dx 2 cty 2 1 
soit le système adopté de coordonnées rectangles x et y. Lamé lui a 
donné le nom de paramètre différentiel du premier ordre de la 
fonction de point et l’a désignée, pour abréger, par le symbole A,, mis 
devant la lettre F exprimant la fonction. Ainsi l’on a, par définition, 
(24) 
dF 2 
dy 2 
Passons maintenant au cas de trois variables x, y, z. Il n’est plus 
alors possible de répartir également, tout autour du point (x, y, z), 
un nombre considérable mais limité d’éléments rectilignes ds, ayant 
leur orientation définie par les trois cosinus directeurs a, b, c\ car, 
dans une étendue à trois dimensions, l’espace angulaire environnant 
un point ne se laisse pas diviser eu un nombre arbitraire de parties