58* SIGNIFICATION GÉOMÉTRIQUE DU PARAMÈTRE DIFFÉRENTIEL A .
trouvera d’un certain côté de la première si l’on a pris de positif, du
côté opposé si l’on a pris de négatif; et ainsi de suite. L équation
F{x, y, z) = une constante c représente donc ce qu’on peut appeler
une famille de surfaces. Leurs plans tangents, definis par 1 équation
(19) [p. 4g*], auront d’ailleurs des directions peu différentes en des
points (x,y, z) voisins; de sorte que l’espace sera découpé par ces
surfaces en tranches très minces, à bases sensiblement planes et pa
rallèles sur de petites étendues.
Cela jiosé, si, partant d’un point quelconque {x, y, z) de l’une de
ces surfaces, on s’en éloigne le long de la normale, ou perpendicu
laire au plan tangent mené en ce point (x, y, z), jusqu’à la rencontre
d’une surface infiniment voisine, puis qu’on se rende de même de
celle-ci à la suivante, et ainsi de suite, sans jamais cesser de traver
ser à angle droit toutes les surfaces que l’on rencontre, les chemins
suivis de la sorte, et qui seront des lignes courbes (puisque leur direc
tion changera insensiblement), constitueront ce qu’on appelle les tra
jectoires orthogonales aux surfaces proposées. Or cherchons la déri
vée de la fonction F(x,y, z), au point (x, y, z), le long de celle de
ces lignes qui y passe, supposée parcourue en allant du côté où
F {x, y, 5) grandit; et appelons, pour fixer les idées, dn, et non ds,
son élément issu de (x, y, z), afin d’indiquer par la lettre n qu’il est
normal à la surface F = c. Comme l’expression (26) reste la même,
au point considéré, quelle que soit l’orientation des axes coordonnés
rectangulaires, évaluons-l’y en prenant un axe des x positifs parallèle
à l’élément dn et de même sens. Les deux axes des y et des z seront,
par suite, parallèles au plan tangent mené en (x, y, z) à la surface
F=c qui y passe, et les deux éléments rectilignes dy, dz, tirés à
partir de (x, y, z) dans les sens de ces axes, appartiendront au plan
ou se trouveront parmi ceux qui, rasant la surface, donnent dF = o.
Ainsi, sous le radical (26), les deux derniers termes seront nuis.
Quant au premier, dx n’y sera autre chose que l’élément rectiligne
considéré dn normal au plan tangent, et, par suite, t/F y désignera la
différentielle correspondante de F, positive par hypothèse. Le radical
de (26) se réduira donc à — , et l’on aura
(27)
A,F
dF
du
Par conséquent, le paramètre différentiel du premier ordre d’une
fonction de point égale la dérivée de cette fonction le long de la
trajectoire orthogonale aux lieux des points pour lesquels la fonc
tion est constante.