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PENTE d’une surface ; 
Les mêmes propriétés et formules (27), (28), (29) s’appliquent sans 
difficulté au cas de deux seules coordonnées x, y, sauf à y remplacer 
les surfaces F {x,y,z) — c par les courbes F {x, y) —C du plan des 
xy, courbes qui ont évidemment, dans le plan, leurs trajectoires nor- 
males ou orthogonales, et à substituer, par suite, aux plans tangents, 
les simples tangentes que définit l’équation (i4) [p- 47*]? en faisant 
d’ailleurs abstraction, dans les relations (29), du troisième cosinus 
, . . dF 
directeur cos y, rendu nul par la supposition — = o. 
4G*. — Pente d’une surface; notion des lignes de niveau et des lignes 
de plus grande pente. 
Mais, dans ce cas de deux coordonnées x, y, on peut donner une 
interprétation purement géométrique de la formule (27), devenue 
alors, par une élévation au carré, 
(3o) 
dF2 _ cm dF2 
du- d.r' 1 dy 2 
Menons, en effet, par chaque point, m{x, y) [p. 61*], du plan des 
xy supposé horizontal, une ordonnée verticale, niM ou z, égale à la 
fonction F(x,y), et considérons la surface z = F{x, y), ou MQ, lieu 
des extrémités M de toutes les ordonnées pareilles. Les lignes F (x, y)—c 
du plan des xy constituent évidemment les projections horizontales des 
lignes, MH par exemple, de la surface, qui ont toutes leurs ordonnées ^ 
égales à une même valeur c, ou dont tous les points se trouvent à une 
distance constante c du plan horizontal des xy : on appelle ces dernières, 
comme MH, les lignes de niveau de la surface. Il est clair qu’elles 
sont, élément par élément, parallèles et égales à leurs projections 
F{x, y) — c, telles que mh. Quant aux trajectoires orthogonales, mp 
par exemple, dont dn désigne un élément, elles sont aussi les projec 
tions horizontales d’une seconde famille de lignes de la surface, sa 
voir, de celles, comme MP, qui, ayant leurs éléments successifs dans 
des plans, mMM', menés perpendiculairement aux lignes de niveau MH, 
ne peuvent manquer elles-mêmes de couper à angle droit ces lignes de 
niveau, et constituent, par conséquent, sur la surface autant qu’en 
projection horizontale, leurs trajectoires orthogonales. Ces trajectoires 
orthogonales, comme MP, aux lignes de niveau de la surface, s’ap 
pellent ses lignes de plus grande pente ou, simplement, ses lignes de 
pente, pour des raisons qu’on verra bientôt.