LIGNES DE NIVEAU ET LIGNES DE PENTE D’UNE SURFACE. 
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m plans tang; 
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on peut donner» 
aaule (37), devei 
1.61*], du plan de 
U ou égale à la 
r, y), ou 310, lie» 
i lignes F(x, /)=c 
- horizontales des 
kvs ordonnées* 
>e trouvent à une 
elle ces dernières, 
est clair quelles 
leurs projections 
à orthogonales, mp 
ont aussi les projet 
és de la surface, sa 
nents successifs k 
k lignes de niveau MB 
mie droit ces lignesi 
surface autant f 
onales.Cestrajed® 
un de la surface, si 
mplement. ses Kg*'- 
Cela posé, l’un quelconque, MM', de leurs éléments, a évidemment, 
pour sa projection mm' sur le plan des xy, l’élément correspondant dn 
d’une trajectoire orthogonale, mp, aux courbes F{x,y) = c de ce 
plan, et il a pour projection verticale la différence de niveau 
AM' ou dz de ses deux extrémités, diffé 
rence qui est l’accroissement dF éprouvé 
par l’ordonnée verticale F{x, y) de la 
surface le long de cet élément rectiligne 
dn. Or le rapport ou de la diffé- 
rence de niveau en question AM', au che 
min correspondant dn — MA parcouru 
dans le sens horizontal, représente évi 
demment la tangente trigonométrique de 
l’angle AMM' que fait avec l’horizontale dn, 
on avec le plan des xy, la direction en 
(x, y, z') de la ligne de plus grande 
pente MP : il est, par définition, la pente ou la déclivité de cette ligne. 
Et il mesure aussi la pente analogue de la surface : car la ligne de 
niveau MH menée eu [x, y, z), intersection mutuelle de la surface 
QMH et du plan horizontal AMH, constitue, sur une longueur infi 
niment petite, l’arête de l’angle dièdre formé par le plan tangent en M 
et par ce plan horizontal ; d’où il suit que l’angle de l’élément MM' 
de la ligne de plus grande pente avec sa projection horizontale MA 
sur la face AMH est l’angle plan de ce dièdre, et que, par suite, sa 
dz 
tangente trigonométrique ^ exprime indifféremment la pente dn plan 
tangent ou de la surface et celle de la ligne de plus grande pente; 
ce qui justifie le nom de ligne de pente de la surface donné à 
celle-ci. 
„ ,, . , . n1 dF dF dz dz , 
Quant aux denvees partielles -7— ou — , obtenues en ne 
x 1 dx dy dx dy 
faisant pas varier soit y, soit x, elles représentent les pentes ana 
logues constatées sur la surface, au point {x, y, z), lorsqu’on y marche 
à partir de ce point dans des plans parallèles à celui des zx ou à celui 
des zy. Ces pentes sont, par conséquent, celles des deux éléments 
rectilignes suivant lesquels la surface est coupée, en M, par deux 
plans verticaux parallèles aux deux axes rectangulaires, mais d’une 
orientation horizontale d’ailleurs quelconque, des x et desjp. 
Ainsi, la formule (3o) exprime que, si l’on considère, en un point 
d'une surface donné à volonté, les pentes des deux coupes ou sec- 
Fig. 12.