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COMPLÉMENT A LA SIXIÈME LEGON. 
COURBURE DES COURBES PLANES ET PARAMÈTRE DIFFÉRENTIEL DU 
SECOND ORDRE DES FONCTIONS DE POINT; CHANGEMENTS DE 
VARIABLES. 
ol*. — Importance particulière et signification de la dérivée seconde. 
Si nous considérons spécialement la dérivée seconde f"{x), elle égale 
• • A 2 i~( oc \ 
la limite du rapport ^ 2 --* Or, comme on vient de le voir [p. 100], 
A-f{x) est l’accroissement, /(37 -f- 2A37)— 2/(37 -+- A37) -h/(x), de 
la différence première \/{x), ou /(37 A37) —/(37), quand x y gran 
dit de A37. On a donc 
(7) 
AV(37) 
/(37 -f- 2 Ar) -r-/(37) 
— /(37 -+- A37) 
et f"(37) est la limite de l’expression 
2 ['/(37 -r- 2 A3?) -4-/(37) 
)* L 
( A37) 2 
—/(a7-UA37) 
où ne figurent, avec la valeur actuelle /(37) de la fonction, que des 
valeurs j\x -f- A37), f{x 2A37), ultérieures ou correspondant à des 
valeurs plus grandes de la variable. Mais, en vertu de la loi de varia 
tion graduelle, cette expression, nouvelle fonction de 37, ne change 
que dans un rapport négligeable (à la limite) quand x y varie d’une 
quantité de l’ordre de A37 seulement. On a donc le droit d’y retran 
cher de 37 une petite constante, A37, choisie de manière à y faire pa 
raître autant de valeurs de la fonction venant avant f{x) que de va 
leurs ultérieures : ce qui offrira l’avantage d’introduire une plus 
grande symétrie [sans compter celui d’une convergence beaucoup 
plus rapide vers f"{x), comme on verra au n° 96*]. Et l’on aura, delà 
sorte, pour la quantité dont /"(37) est la limite, 
(A37) 2 
'/( x -f- A,37 ) -t- f(x — A37 ) 
~t\ x )