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* LA DÉRIVÉE SECONDE MESURE L'ACCROISSEMENT MOYEN DE LA FONCTION,
De même, le rapport /(' r+ , qu i tend vers /'(a?), y tendra
encore (et beaucoup plus vile d’après ce qui sera démontré dans ce
n° 96*), si l’on retranche de x la moitié de l’intervalle total Ax des va
leurs de la variable qui y figurent; ce qui le change en
f{x-^\Ax)—f{x — \Ax)
Ax
Désignons par 2/1, dans ce rapport, par h, dans l’expression précé
dente, la différence Ax\ et il viendra, en supposant h infiniment petit,
(8)
( f"( x ) =
<
( f\ x ) =
2 F f(x
A 2
A) -+-f(x— A)
2
f(x -4- A) —fjx —h) '
2 A
Or /( x h- h) et f{x— h) sont les valeurs de la fonction aux deux
instants où sa variable présente l’écart h de part et d’autre de sa va
leur actuelle x\ en sorte que leur demi-somme peut être appelée la
valeur moyenne de la fonction à la distance h de sa valeur ac
tuelle et, l’excédent de cette demi-somme sur f(x), Vaccroissement
moyen correspondant de la fonction. Désignons-le par cf(A), et ob
servons de plus que son expression H- h) h- f{x — A)] —f{x),
différentiée en y faisant varier h d’une fraction infiniment petite de sa
valeur, donne
«p'(A) = \[f\ x -+■ h )—f\ x — A)],
cp'(A) f(x-\- A)-»- f\x—h)
h 2 h
rapport exprimant la dérivée f\x), d’après la seconde formule (8)
supposée appliquée à f\x) et non plus à f\x). Il vient donc tout à la
fois, quand h est une variable infiniment petite,
(9) fi*)
2
7d
cp(A) =
cp '(h)
1 V d f{x -4- h) d f{x — A)~l
2 A 1 dh dh J
En d’autres termes, la dérivée seconde d’une fonction est le
produit de Vaccroissement moyen qu’éprouve cette fonction de
part et d’autre de sa valeur actuelle à une distance infiniment
<2
petite h, multiplié par le facteur -j-,; et elle est aussi le rapport, à
h, de la dérivée de ce même accroissement moyen lorsque h varie
d’une fraction infiniment petite de sa valeur, dérivée égalant la
moyenne de celles, par rapport à h, de la fonction donnée, pour les
deux valeurs x ± h de la variable.