COURBURE MOYENNE D’UNE SURFACE; 
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de la normale, par rapport aux coordonnées rectangulaires cor 
respondantes des points où on la mène, est une fonction de ces coor 
données qui ne dépend nullement des axes choisis. 
61*. — Courbure moyenne en un point d’une surface : son expression 
dans une famille de surfaces. 
Mais demandons-nous quelle est la signification géométrique de 
cette somme remarquable 
d cos a if cos 3 d cos v 
< 35 > ~dx~ ~df H ~dz ' 
A cet effet, nous souvenant que sa valeur en un point M(.#, y, z) 
ne dépend pas des axes choisis, nous adopterons {/ig- i4 ci-après) 
ceux qui paraissent devoir y simplifier le plus possible son expres 
sion, savoir deux axes des x et des y parallèles au plan tangent eu 
M(a?, /, z) à la surface F(x, y, z) = c, que je supposerai être SS,, 
et un axe des z dirigé du côté vers lequel la fonction F grandit à 
partir de (x, y, z)\ de manière que cosa, cos[3, cosy prennent 
respectivement, en M, les valeurs o, o,i. Comme on aura partout, 
entre les trois fonctions cosa, cos|3, cosy, la relation 
cos 2 a -+- cos 2 ¡3 cos 2 y — i = o, 
celle-ci, différentiée en z et puis divisée par 2, donnera 
d cos a 
(35 bis) 
dz 
„ d cos 3 d cos y 
cos P -j— 1 T- COS Y 1 
dz 
dz 
Or les dérivées partielles de cosa, cos[3, cosy, où A, F figure comme 
dénominateur, ne deviennent infinies, au moins quand la fonction 
F (x, y, z) est partout finie et continue ainsi que ses dérivées par 
tielles, qu’aux points où ce dénominateur A,F égale zéro : circonstance 
exigeant que les trois dérivées de F en x, y, z s’annulent à la fois, ou 
(p. 51*) que le point (x, y, z) puisse être un point singulier. Ab 
straction faite de ce cas tout exceptionnel, la relation (35 bis) se ré 
duit donc, pour le point proposé où cosa, cosj3, cosy ont les valeurs 
o, o,i, à -g~ ( — o ; ce qui fait disparaître le troisième terme de (35). 
Mais les deux premiers termes, seuls subsistants, sont deux dérivées 
de cosa et cos p obtenues sans cesser de considérer la même surface 
F(^, J, z) = c, puisque les deux éléments rectilignes dx et dy, le 
long desquels on les évalue, lui sont tangents, ou se confondent avec 
deux de ses cordes infiniment petites. On peut donc, à la famille