THÉORIE DES CHANGEMENTS DE VARIABLES.
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de la courbure d’une famille F (x, y) — c de lignes tracées dans le
plan des xy\ car, si l’on imagine la famille de cylindres F (¿c, y) = c,
lieux des droites parallèles à l’axe des z émanées des divers points
de ces courbes, chacune de celles-ci F (ce, y) — c, en un quelconque
de ses points, sera une section normale d’un cylindre et, la droite (ou
génératrice) correspondante, la section normale rectangulaire : leurs
courbures respectives étant et zéro, la courbure moyenne du cy-
lindre ne sera autre chose que
—=r • Donc le double,
a R
R’
admettra bien,
d’après (36), l’expression (24),
d cosa
dx
d cos ß\
car on aura
. . d¥
ICI -J- — o ou cos y = o.
62*. — Des changements de variables.
Les premières variables qui se présentent dans une question et dont,
par exemple, l’une, x, est indépendante, tandis que les autres, y, z,..
sont fonction de celle-là, ne se trouvent pas toujours les meilleures
qu’on puisse y considérer, en ce sens qu’il en existe fréquemment
d’autres, liées par des équations assez simples à x, y, z, . . ., et qui,
substituées à celles-ci dans les relations que la question comporte,
rendent ces relations beaucoup plus faciles à interpréter ou beaucoup
plus propres à faire connaître le mode de variation des quantités in
connues. Il y a donc lieu de chercher comment les dérivées succes
sives en x de y, z, . .., dérivées pouvant figurer dans les relations
dont il s’agit, s’exprimeront au moyen des nouvelles variables, £, rp
Ç, . . ., qu’on veut substituer à x, y, z, ....
Distinguons, parmi ces nouvelles variables, celle qui sera censée
indépendante, \ par exemple. La précédente variable indépendante x
variant en même temps qu’elle, chacune des deux égalera une cer
taine fonction de l’autre; pour fixer les idées, j’appellerai cp la fonction
qui exprimera ainsi x au moyen de \ ; autrement dit, je poserai
¿r = cp(£), et ç, en tant que dépendant de x, sera la fonction inverse,
dont la dérivée égale, comme on sait, —• Cela posé, toutes les
dx a ?(ç) 1
variables de la question, variant simultanément d’une manière déter
minée, sont fonction de l’une quelconque d’entre elles, et l’on peut,
d’une part, les regarder comme dépendant de Sj, tandis que l’on regar
dera, d’autre part, £ comme dépendant de x. La fonction y, par
exemple, sera ainsi fonction de x par l’intermédiaire des;; et l’on
aura, d’après la règle de la différentiation des fonctions de fonction,